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第一章计数原理1．2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式[学习目标]1.理解排列的概念(重点)．2.能利用计数原理推导排列数公式(难点)．3.会用排列数公式进行相关计算(重点)．1．排列的相关概念(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．Amn2．排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！．温馨提示注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；其中最大因数是n，最小因数是n－m＋1.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)a，b，c，d与a，d，b，c是不同的两个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()解析：(1)对，题中的两个是不同的排列，因为与元素的位置有关．(2)对，根据排列的定义知说法正确．(3)错，元素的位置交换后，所得的排列与原排列不同．答案：(1)√(2)√(3)×2．下面问题中，是排列问题的是()A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合解析：选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案：A3．A39等于()A．9×3B．93C．9×8×7D．9×8×3解析：A39＝9×8×7.答案：C4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3B．4C．6D．12解析：所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．答案：C5．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为()A．6B．8C．9D．12解析：由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．答案：C类型1排列的概念(自主研析)[典例1]判断下列问题是否是排列问题：(1)从2，3，5，7，11中任取两数相乘可得多少个不同的积？(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的商？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问题．(2)除数与被除数互换结果不一样，与顺序有关，是排列问题．(3)“门”不同，先后也不一样，是排列问题．归纳升华判断一个具体问题是否为排列问题的方法特别提醒：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[变式训练]判断下列问题是否是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两名去学校开座谈会不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)第一问不是排列问题，因为选出3个座位与顺序无关；第二问是排列问题，因为“入座”问题与顺序有关．类型2排列数公式[典例2]求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n55)；(2)计算2A58＋7A48A88－A59；(3)解方程：A42x＋1＝140A3x.解：(1)因为55－n，56－n，…，69－n中最大的数为69－n，且(69－n)－(55－n)＋1＝15，即共有15个数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1569－n.(2)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(3)根据排列数的定义，x应满足2x＋1≥4，x≥3，x∈N*，解得x≥3，x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因为x≥3，于是得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．则4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝534(舍去)．所以原方程的解为x＝3.归纳升华排列数的计算方法1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[变式训练](1)计算：A59＋A49A610－A510.(2)解方程：3Ax8＝4Ax－19.解：(1)原式＝5A49＋A495A510－A510＝6A494A510＝6A4940A49＝640＝320.(2)由排列数公式，原方程可化为3×8！（8－x）！＝4×9！（10－x）！，化简得3＝4×9（10－x）（9－x），即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.因为x≤8，所以原方程的解是x＝6.类型3简单的排列应用题[典例3]解答下列问题：(1)8个人排成一排，共有多少种不同的排法？(2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？(3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？解：(1)由排列的定义知共有A88种不同的排法．(2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数，也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A48种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A44种排法，由分步乘法计数原理知排法共有A48A44＝A88(种)．(3)同(2)的分析可知，排法共有A38A55＝A88(种)．归纳升华1．解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题；(2)注意元素或位置有无特殊要求；(3)借助排列数公式计算．2．无限制条件的排列问题，主要根据排列数的定义及分步乘法计数原理解决．n人排队或n个元素排成若干排的问题，可采用排成一排的方法，也可用乘法原理分步进行．[变式训练](1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解：(1)由排列的定义，组成不同的两位数A24＝4×3＝12(个)．(2)由题意作“树形图”如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.类型4对排列数公式的理解不透致误(误区警示)[典例4]解不等式Ax8＜6Ax－28.易错提示：本题易忽略条件x－2＞0，8≥x，导致结论错误．防范措施：在排列数公式An中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，因此要注意公式的适用条件．[规范解答]由Ax8＜6Ax－28，得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！，化简得x2－19x＋84＜0，解之得7＜x＜12.①又8≥x，x－2＞0，所以2＜x≤8.②由①②及x∈N*得x＝8.[类题尝试]不等式Ax9＞6Ax－29的解集为________．解析：由Ax9＞6Ax－29得9！（9－x）！＞6×9！（11－x）！，由排列数定义知0≤x≤9，0≤x－2≤9，解得2≤x≤9，x∈N*.化简上述不等式得x2－21x＋104＞0，即(x－8)(x－13)＞0，所以x＜8或x＞13.因为2≤x≤9，x∈N*，所以2≤x＜8，所以x可取2，3，4，5，6，7.答案：{2，3，4，5，6，7}1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数两个公式的选取方法：(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点是：从n起连续写出m个自然数的乘积．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！（n－m）！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n，m∈N*”的运用．