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第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用[学习目标]1.进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)．2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题(难点)．1．两个计数原理的区别用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．应用分类加法计数原理的注意事项分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．应用分步乘法计数原理的注意事项分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．1．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A．6B．5C．3D．2解析：由分类加法计数原理，共有3＋2＝5种不同选法．答案：B2．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中的项数是()A．48项B．36项C．24项D．12项解析：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．答案：C3．某电话局的电话号码为139××××××××，若前七位已定好，最后四位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()A．8个B．16个C．20个D．32个解析：采用分步计数的方法，四位数字由6或8组成，可分四步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有2×2×2×2＝24＝16(个)．答案：B4．定义集合A与B的运算A⊗B如下：A⊗B＝{{x，y}|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A⊗B的元素个数为()A．34B．43C．12D．16解析：确定A⊗B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，不同的方法共有3×4＝12(种)，即集合A⊗B的元素有12个．答案：C5．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，若经过点B，有________种不同的走法．若可经过点B，也可不经过点B，有________种不同的走法．解析：经过点B，不同的走法有2×2＝4(种)．若可经过点B，也可不经过点B，不同的走法有2×2＋2＝6(种)．答案：46类型1组数问题(自主研析)[典例1]用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的密码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．归纳升华对于组数问题的计数要注意：(1)在同一题目中涉及这两个原理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准是什么．(2)对于数字问题，要注意是否允许数字重复，各位上的数字是否受到某些条件限制．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领来分类，每类中再分步来计数．(3)当类别较多时，可用间接法．[变式训练]用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)比2000大的4位偶数？解：(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)法一按个位是0，2，4分为三类：第一类：个位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类：个位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类：个位是4的有3×4×3＝36(个)；则由分类加法计数原理得比2000大的4位偶数有48＋36＋36＝120(个)．法二用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：个数是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：个数是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．类型2分配问题[典例2](1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种(2)从四人中选派2人值两天夜班，每班1人，则不同值班方法的种数为________．解析：(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)设四人依次为A，B，C，D，从中选出2人值两天夜班，排班方案有如下几种：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC.即共有12种不同的值班方法．答案：(1)C(2)12归纳升华1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：(1)直接法．直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．(2)间接法．去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[变式训练]8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？解：分三步，每位同学取书一本，第1、2、3个同学分别有8、7、6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．类型3涂色问题[典例3]如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种(以数字作答)?解：当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)．当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)．综上，共有48＋24＝72(种)．归纳升华求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析．[变式训练]下图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？解：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从区别于宿舍区、餐厅2种颜色的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×4＝480种着色方案．操场宿舍区餐厅教学区用两个计数原理解决计数问题时，要明确需要分类还是需要分步．(1)分类：是将完成这件事的所有方式分类．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步：是将完成这件事的每一个方式分步．分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题．解决这类问题，首先，要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．