搜索
第一章计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理[学习目标]1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理(重点)．2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混点)．3.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题(难点)．1．分类加法计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事的不同方法共有N＝(m＋n)种不同的方法．(2)推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的不同方法共有N＝(m1＋m2＋…＋mn)种．温馨提示正确应用分类加法计数原理的关键是正确分类，要做到不重不漏．2.分步乘法计数原理(1)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事的不同方法共有N＝m·n种．(2)分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的不同方法共有N＝m1·m2·…·mn种．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()解析：(1)错，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法不相同．(2)对，根据分类加法计数原理的概念知说法正确．(3)对，根据分步乘法计数原理的概念知说法正确．答案：(1)×(2)√(3)√2．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有()A．240种B．180种C．120种D．90种解析：根据分类加法计数原理，得方法种数为30＋20＋40＝90.答案：D3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为()A．7B．64C．12D．81解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．答案：C4.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．解析：从任一门进有4种不同走法，从任一门出也有4种不同走法，故共有不同走法4×4＝16(种)．答案：165．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为__________________．解析：由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.答案：48类型1分类加法计数原理(互动探究)[典例1]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：(1)法一根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36[迁移探究1][变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且个位数为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．[迁移探究2][变条件，变设问]用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，所以共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15(个)．答案：15归纳升华应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事；(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事；(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；②分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．[变式训练]满足a、b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10解析：①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个；a＝1时，b的取值有3个；a＝2时，b的取值有2个．所以(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13(个)．答案：B类型2分步乘法计数原理[典例2]已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有________个．解析：圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．答案：24归纳升华1.使用分步乘法计数原理解题时要注意以下两点：(1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各个步骤中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．2．利用分步乘法计数原理的解题流程．[变式训练]乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解：法一按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252(种)．法二按主力与非主力，分两步安排．第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有7×6种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×7×6＝252(种)．类型3两个计数原理的综合应用[典例3]现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有5＋2＋7＝14(种)．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7＝70(种)．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2＝10(种)．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有5×7＝35(种)．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有2×7＝14(种)．综上所述，不同的选法有10＋35＋14＝59(种)．归纳升华解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．[变式训练]一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人的手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？解：(1)第一类，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类，从第二个袋子取一张联通卡，共有12(种)．根据分类加法计数原理，不同的取法共有10＋12＝22(种)．(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，不同的取法共有10×12＝120(种)．类型4不能正确理解题意致误(误区警示)[典例4]有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，求共可以组成多少种不同的信号．易错提示：求解只注意顺序不同表示不同的信号，而忽略了旗数不同也表示不同信号．防范措施：求解此类问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性．[规范解答]每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9(种)；每次升3面旗可组成3×3×3＝27(种)．根据分类加法计数原理得，共可以组成的不同的信号有3＋9＋27＝39(种)．[类题尝试]火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？解：分10步．第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种，第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种，……第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系．(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的共同点是把一个原始的事件分解为若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别．分类分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事，共有多少类方法，关键词是“分类”完成一件事，共有多少个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法中的任何一种方法都能独立地完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”