2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值（第2课时）函数的最值课

数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最值1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？•通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事．•在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的最值问题．•最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有f(x)______Mf(x)______M存在x0∈I，使得f(x0)＝______结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最______点的纵坐标f(x)图象上最______点的纵坐标≤≥M高低•[知识拓展]函数最大值和最小值定义中两个关键词：•①“存在”：•M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，•如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.•②“任意”：•最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．•1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则()•A．函数y＝f(x)的最小值为M•B．函数y＝f(x)的最大值为M•C．函数y＝f(x)无最小值•D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值•[解析]根据函数最值的定义，易知选D．D•2．函数y＝－|x|在R上()•A．有最大值0，无最小值B．无最大值，有最小值0•C．既无最大值，又无最小值D．以上都不对•[解析]函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．A•3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值()•A．是f(0)B．是f(3)•C．是0D．不存在•[解析]∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，•∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．D4．函数y＝1x在[2,3]上的最小值为______，最大值为______；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为________.1312－12－13[解析]函数y＝1x在区间[2,3]上单调递减，∴ymin＝13，ymax＝12；在区间[－3，－2]上单调递减，∴ymin＝－12，ymax＝－13.互动探究学案已知函数f(x)＝1x0x1x1≤x≤2，求函数f(x)的最值．命题方向1⇨利用图象求函数的最值典例1•[思路分析]可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．•[解析]作出f(x)的图象如图：•由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．•『规律方法』利用图象法求函数最值的一般步骤是：•〔跟踪练习1〕•如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．•[解析]由图象可知，f(x)的最大值是3，最小值是－2.已知函数f(x)＝x－1x＋2.(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．命题方向2⇨利用单调性求最值•[思路分析]利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．典例2[解析](1)证明：任取x1，x2∈[3,5]且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝x1－1x2＋2－x2－1x1＋2x1＋2x2＋2＝x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2x1＋2x2＋2＝3x1－x2x1＋2x2＋2∵x1，x2∈[3,5]且x1x2，∴x1－x20，x1＋20，x2＋20，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴函数f(x)＝x－1x＋2在x∈[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝25，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝47.•『规律方法』1.利用函数单调性求最值的一般步骤：•(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．•2．利用单调性求最值的三个常用结论•(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．•(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．•(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．〔跟踪练习2〕已知函数f(x)＝2xx＋1，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值．[解析]设－3≤x1x2≤－2，则f(x1)－f(x2)＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2x1x2＋1－2x2x1＋1x1＋1x2＋1＝2x1－x2x1＋1x2＋1.∵－3≤x1x2≤－2，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝2xx＋1，x∈[－3，－2]是增函数．又∵f(－2)＝4，f(－3)＝3，∴函数的最大值是4，最小值是3.已知函数f(x)＝a－1x－12ax≤1a＋1x2x＞1为R上的减函数，则实数a的取值范围为___________________.忽视端点值致误典例3{a|a≤－4}[错解]因为函数f(x)＝a－1x－12ax≤1a＋1x2x＞1为R上的减函数，所以f(x)＝(a－1)x－12a在(－∞，1]上是减函数，且f(x)＝(a＋1)x2在(1，＋∞)上是减函数，所以a－1＜0a＋1＜0，解得a＜－1.所以a的取值范围为{a|a＜－1}．•[错因分析]上述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，从而导致答案错误．[正解]因为函数f(x)＝a－1x－12ax≤1a＋1x2x＞1为R上的减函数，所以a－1＜0a＋10a－1×1－12a≥a＋1，解得a≤－4.所以a的取值范围为{a|a≤－4}．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x1时，f(x)0.(1)求f(1)；(2)求证f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．逻辑推理训练——抽象函数典例4[思路分析](1)由于f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈(0，＋∞)都成立，故可给x、y赋值产生f(1)；(2)欲证f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1x2，有f(x1)－f(x2)0.结合已知条件x1时，f(x)0，这里x2x11.∴f(x2x1)0，即f(x2·1x1)＝f(x2)＋f(1x1)0，于是在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令y＝1x可得f(x)＋f(1x)＝0，从而f(1x)＝－f(x)．从而有f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)0，即可沟通条件与结论．(3)利用(2)和条件f(13)＝－1可得f(3)，求得f(m)＝2，将不等式f(x)－f(x－2)≥2化为f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得f(x)≥f(m(x－2))，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．[解析](1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)证明：令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)．由于x2x11，故f(x2x1)0，从而f(x2)f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤94，又x0x－20，∴2x≤94，∴x的取值范围是(2，94]．『规律方法』处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f(1x)＝－f(x)可作为推理依据．•1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()•A．f(－2)，0•B．0,2•C．f(－2)，2•D．f(2)，2•[解析]由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．C•2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()•A．3,5B．－3,5•C．1,5D．5，－3•[解析]∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，•∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5.B•3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()•A．1B．2•C．3D．4B[解析]作出函数f(x)＝|x＋2|＝x＋2－2≤x≤0－x－2－4≤x－2的图象如图所示，由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．4．(2019·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为_____.2[解析]设任意x1，x2∈[2,6]，且x1x2，∴f(x2)－f(x1)＝2x2－1－2x1－1＝2x1－x2x2－1x1－1，∵x1，x2∈[2,6]，∴x2－10，x1－10，又∵x1x2，∴x1－x20，∴2x1－x2x2－1x1－10，∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)＝2x－1，x∈[2,6]为减函数，∴f(x)max＝f(2)＝2.5．已知函数f(x)＝2x＋61≤x27－x－4≤x1，求f(x)的最大值．•[解析]当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，•∴f(x)在[1,2]上单调递增，•∴f(x)max＝f(2)＝10.•当－4≤x1时，f(x)＝7－x，•∴f(x)在[－4,1)上单调递减，•∴f(x)max＝f(－4)＝11.•综上可知f(x)max＝f(－4)＝11.