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第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性[学习目标]1.从图象直观、定性描述和定量分析三个方面认识函数的单调性，理解函数单调性的定义(重点)．2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(重点、难点)．3.会求一些具体函数的单调区间(重点)．[知识提炼·梳理]1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数．就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)已知f(x)＝x2，因为f(－1)f(2)，所以函数f(x)在R上是增函数．()(2)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()解析：(1)错．由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)对．区间D中的任意两个自变量的值x1，x2.因为函数y＝f(x)在区间D上是增函数，所以当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，所以－f(x1)－f(x2)，所以函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(3)错．函数y＝1x的单调递减区间应是(－∞，0)，(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：(1)×(2)√(3)×2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有()A．a≥12B．a≤12C．a12D．a12解析：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则2a－10，即a12.答案：D3．给出下列四个函数：①f(x)＝x＋1；②f(x)＝1x；③f(x)＝2x2；④f(x)＝－x.其中在(0，＋∞)上是增函数的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：在(0，＋∞)上是增函数的为①③.答案：C4．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________．解析：由函数的图象、增区间的定义知，y＝f(x)的增区间是[－3，1]．答案：[－3，1]5．函数y＝－|x|在[a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．解析：y＝－|x|的图象如图所示，由图象可知，x≥0时，y为减函数，所以a≥0.答案：a≥0类型1由函数图象确定单调区间(自主研析)[典例1](1)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则函数的单调递减区间是______________，在区间__________上是增函数.(2)函数y＝1x－1的单调递减区间是____________．解析：(1)观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．(2)y＝1x－1的图象可由函数y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案：(1)[－5，－2)，[1，3)[－2，1)，[3，5](2)(－∞，1)，(1，＋∞)归纳升华1．利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．2．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“，”连接，不能用“∪”“或”连接．[变式训练]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|.(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.解：(1)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x≤2，2x－1，x2，作出函数图象如图①所示．由图象可知，函数的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(2，＋∞)，在区间(－1，2)上是常函数．(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，x≥0，－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，x0，函数图象如图②所示．故函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．图①图②类型2函数单调性的判定与证明(互动探究)[典例2]证明函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4（x2－x1）x1x2＝(x1－x2)x1x2－4x1x2.因为2x1x2，所以x1－x20，x1x24，即x1x2－40，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．[迁移探究1](变换条件、改变问法)将典例2中区间“(2，＋∞)”改为“(0，2)”，试判断函数f(x)的单调性并证明．解：函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(0，2)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4（x2－x1）x1x2＝(x1－x2)x1x2－4x1x2.因为0x1x22，所以x1－x20，0＜x1x24，x1x2－40，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．[迁移探究2](变换条件)将典例2中的函数“f(x)＝x＋4x”变为“f(x)＝x＋4”，试判断此函数的单调性并证明．解：函数f(x)＝x＋4为增函数．证明：由题意知函数f(x)的定义域为[－4，＋∞)，任取x1，x2∈[－4，＋∞)，且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋4－x2＋4＝x1－x2x1＋4＋x2＋4.因为x2x1－4，所以x1－x20，x1＋4＋x2＋40，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在[－4，＋∞)上为增函数．归纳升华利用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤1．设元：设x1，x2∈D，且x1x2.2．作差：将函数值f(x1)，f(x2)作差，为f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)．3．变形：将上述差值变形(因式分解、配方等)．4．判号：对上述变形结果的正负加以判定．5．定论：根据定义对f(x)的单调性作出结论．类型3函数单调性的应用[典例3]已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范围．解：由题意可知－11－a1，－12a－11，解得0a1.①因为f(x)在(－1，1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，所以1－a2a－1，即a23.②由①②可知，a的取值范围是0a23.归纳升华1．单调性的定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．[变式训练]已知定义在[1，4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)0的实数a的取值范围．解：由题意，可得f(1－2a)f(3－a)．因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，所以1≤1－2a≤4，1≤3－a≤4，1－2a3－a，解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为[－1，0]．1．准确理解函数的单调性(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，是函数的一个“局部”性质，函数在单独的一点处没有单调性．(2)定义中的x1和x2的三个特征．①任意性：即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉，不能以特殊值代换．②x1，x2属于同一个单调区间．③有大小之分，一般令x1x2.(3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系：如f(x)在区间I上是减函数，若x1，x2∈I，则f(x1)f(x2)⇔x1x2.2．易误与防范(1)函数的单调区间是定义域的子集，单调区间一般不能盲目取并集，如y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减．但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．(2)注意“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”含义不同．前者指单调区间的最大范围，而后者“区间I”是相应单调区间的子区间.