2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射课件

第一章集合与函数概念第2课时分段函数及映射[学习目标]1.通过具体的实例，理解分段函数的概念，能描绘出分段函数的大致图象，能正确地求出分段函数在某点的函数值(重点、难点)．2.了解映射概念及它与函数的区别与联系(难点)．[知识提炼·梳理]1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．温馨提示分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间上对应关系不同，所以分段函数是一个函数．2．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．3．函数与映射的区别与联系名称函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但映射不一定是函数[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数f(x)＝1，x≥0，－1，x0是分段函数．()(2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．()(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．()解析：(1)对．依据分段函数的定义可知，函数f(x)是分段函数．(2)对．分段函数满足函数的定义，是一个函数．(3)对．依据分段函数的定义知，分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．答案：(1)√(2)√(3)√2．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝()A.15B．3C.23D.139解析：因为f(3)＝23，所以f(f(3))＝232＋1＝139.答案：D3．设f：A→B，则下列命题中，正确的是()A．A中每个元素在B中必有唯一元素与其对应B．B中每个元素在A中必有元素与其对应C．B中每个元素在A中对应的元素唯一D．A中不同的元素在B中对应的元素必不同解析：f：A→B表示A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应，而B中的部分元素可以不参与对应．答案：A4．已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．解析：因为f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，所以f(0)＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.答案：25．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________________________．解析：当0≤x≤1时，f(x)＝－1；当1＜x≤2时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则k＋b＝－1，2k＋b＝0，解得k＝1，b＝－2，此时f(x)＝x－2.综上，f(x)＝－1，0≤x≤1，x－2，1＜x≤2.答案：f(x)＝－1，0≤x≤1，x－2，1＜x≤2类型1分段函数的求值(自主研析)[典例1]已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－23.因为f－52＝－52＋1＝－32，且－2－322，所以ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2－2，不合题意，舍去．当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.解得a＝1或a＝－3(舍去)．当a≥2时，2a－1＝3，得a＝2，综上所述，a＝1或a＝2.归纳升华1．求分段函数的函数值的方法．先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法．先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验．[变式训练]已知函数f(x)＝1＋1x，x1，x2＋1，－1≤x≤1，2x＋3，x－1.(1)求f1－12－1，f(f(f(－2)))的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝32，求a.解：(1)因为1－12－1＝1－(2＋1)＝－2－1，所以f1－12－1＝f(－2)＝－22＋3，又因为f(－2)＝－1，f(f(－2))＝f(－1)＝2，所以f(f(f(－2)))＝1＋12＝32.(2)若3x－11，即x23，f(3x－1)＝1＋13x－1＝3x3x－1；若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤23，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1－1，即x0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.所以f(3x－1)＝3x3x－1，x23，9x2－6x＋2，0≤x≤23，6x＋1，x0.(3)因为f(a)＝32，所以当a1时，有1＋1a＝32，所以a＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝32，所以a＝±22.当a－1时，2a＋3＝32，所以a＝－34(舍去)．综上所述，a＝2或a＝±22.类型2分段函数的图象及应用[典例2]已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2＜x≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.所以f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2＜x＜0.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．归纳升华1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤．(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．(2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．2．作分段函数图象的注意点．作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点是实心点还是空心点．[变式训练]如图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x－2)2＋2(1x3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式．解：由图知k1＋b1＝1，b1＝2，解得k1＝－1，b1＝2，所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)，同理，当x≥3时，右侧射线的解析式为y2＝x－2(x≥3)．因为抛物线对应的二次函数的解析式为y3＝a(x－2)2＋2(1x3)，所以a＋2＝1，解得a＝－1.所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1x3)．综上所述，函数解析式为y＝－x＋2，x≤1，－x2＋4x－2，1x3，x－2，x≥3.类型3映射的概念[典例3]下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|B．A＝R，B＝{0，1}，对应关系f：x→y＝0，x≥0，1，x0C．A＝{x|x0}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝±xD．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝1x解析：在A选项中，x＝3时，y＝|x－3|＝0∉B，于是A中3在B中没有对应元素，故不是映射；在C选项中，任一个x值都有两个y值和它对应，故不是映射；在D选项中，集合A中的元素0在B中没有元素对应，故也不是映射；只有B项符合定义．答案：B归纳升华1．判断一个对应是不是映射，应从两个方面去分析：(1)集合A中的每一个元素是否都有象；(2)在B中是否有唯一的元素与之对应．2．A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”“一对一”，但不允许“一对多”．3．对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应．它与从B到A的对应一般是不同的．[变式训练]如图所示，箭头标明A中元素与B中元素的对应关系，它们中为映射的有________(填序号，下同)，为函数关系的有________．①②③④解析：根据映射的定义判断A→B的对应关系是映射，满足A中任意一个元素在B中有唯一元素与之对应，即A中元素都有唯一的象，具体地说，即A→B是“一对一或多对一”．在映射条件下，当A，B为非空数集时，则对应关系为函数．只有③④满足映射和函数的条件．答案：③④③④1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．对映射认识的拓展对于映射f：A→B：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是一对一、多对一，但不能是一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.