2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及集合运算的综

第一章集合与函数概念第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标]1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集(重点)．2.能用Venn图表达集合的关系及运算(难点)．3.能进行集合的基本运算，并能解决一些简单问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U．2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA．符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．图形语言温馨提示同一个集合在不同的全集中的补集不同，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∁AC与∁BC相等．()(2)设全集U＝{2，3，4，5，6}，∁UA＝{3，5}，则A＝{2，4，6}．()(3)设全集U＝{x，1，y}，A＝{1，2}，∁UA＝{3}，则x＝2，y＝3或x＝3，y＝2.()解析：(1)错，若A＝B，则∁AC与∁BC相等，否则不相等．(2)对，A是∁UA的补集，所以A＝{2，4，6}．(3)对，因为A∪(∁UA)＝U，所以x＝2，y＝3或x＝3，y＝2.答案：(1)×(2)√(3)√2．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝()A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．答案：C3．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝()A．{2，3}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{1，5}解析：因为A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．答案：B4．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．解析：因为∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，故m＝－3.答案：－35．已知全集U＝R，M＝{x|－1＜x＜1}，∁UN＝{x|0＜x＜2}，那么集合M∪N＝________．解析：因为U＝R，∁UN＝{x|0＜x＜2}，所以N＝{x|x≤0，或x≥2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜1}∪{x|x≤0，或x≥2}＝{x|x＜1，或x≥2}．答案：{x|x＜1，或x≥2}类型1补集的简单运算(自主研析)[典例1](1)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪B为()A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3x≤2}．①求∁UA，∁UB；②判断∁UA与∁UB的关系．(1)解析：因为U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}．所以∁UA＝{0，4}，从而(∁UA)∪B＝{0，2，4}．答案：C(2)解：①因为A＝{x|x≥－3}，所以∁UA＝{x|x－3}．又因为B＝{x|－3x≤2}，所以∁UB＝{x|x≤－3，或x2}．②由数轴可知：显然，∁UA∁UB.归纳升华求集合补集的两种方法1．当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解．2．当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．[变式训练]设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，求∁UA，∁UB.解：因为U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}＝{－5，－4，－3，3，4，5}，又因为A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，B＝{－3，3，4}．由补集的定义知：∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．类型2补集的简单应用[典例2](1)若全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}，则实数a＝________．(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1}，B＝{x|2axa＋3}，且B⊆∁RA，则a的取值范围是________．解析：(1)因为∁UA＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4，7}与7∉A矛盾；当a＝－2时，经验证满足题意．所以a＝－2.(2)由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2aa＋3，即－12≤a3.综上可得a≥－12.答案：(1)－2(2)aa≥－12归纳升华1．解答此类问题的关键在于合理利用补集的性质，转化为与之等价的不等式(组)求解，并注意对含有字母的集合进行分类讨论．2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验．[变式训练](1)已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x5}，则∁AB＝________．(2)已知全集U＝R，A＝{x|xa}，B＝{x|1x2}，A∪(∁UB)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：(1)如图：由数轴可知，∁AB＝{x|0≤x2，或x＝5}．(2)∁UB＝{x|x≤1或x≥2}，要使得A∪(∁UB)＝R，则a≥2.答案：(1){x|0≤x2，或x＝5}(2)a≥2类型3并集、交集、补集的综合运算[典例3](1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0，或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P.(1)解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{2，5}．答案：A(2)解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1，或x3}．又P＝xx≤0，或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0，或x≥52.归纳升华解决集合交、并、补综合运算的技巧1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．[变式训练](1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是()A．{3，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，5}D．{3，4}(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B＝____________；∁U(A∪B)＝______________．解析：(1)由题图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．因为M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4}．(2)根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，所以∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．答案：(1)D(2)∅{x|x是直角三角形}类型4补集的综合应用(规范解答)[典例4](本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．审题指导：要求实数m的取值范围，先建立关于m的不等式，“A∩B≠∅”的对立面为“A∩B＝∅”．因此可先求出A∩B＝∅时m的取值范围，然后在R中取其补集即可．[规范解答]先求A∩B＝∅时m的取值范围．①当A＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0无实数根，(1分)失分警示：漏掉此步，则扣掉1分.所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)0，解得m－1.(3分)②当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实数，失分警示：此处方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实数是由A∩B＝∅决定的，极易弄错．设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则Δ＝（－4）2－4（2m＋6）≥0，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0，解得m≤－1，m≥－3，即－3≤m≤－1.(8分)综上知，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．(9分)又因为U＝R，失分警示：此处易忽视指明U＝R而直接得出结论，造成解题步骤不完整而失分．所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m－3}，所以A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m－3}．(12分)归纳升华有些数学问题，若直接从正面解决不易，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓解题思路．[变式训练]已知集合A＝{x|2a－2xa}，B＝{x|1x2}，且A∁RB，求a的取值范围．解：∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，因为A∁RB，所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．(1)若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2.(2)若A≠∅，则有2a－2a，a≤1，或2a－2a，2a－2≥2，所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.1．全集与补集的关系全集是一个相对的概念，包含所研究问题中涉及的全部元素，补集是相对于相应的全集而言的．如我们在整数范围内研究问题，则Z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．2．符号∁UA包含的三层意思(1)A⊆U.(2)∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U.(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．3．补集的相关性质(1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.(2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(4)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．