数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•根据集合的定义,我们知道集合有无数多个,可以用集合来区分事物.如{四足动物},{两足动物},{绿色植物},{菌类植物},{植物},{动物},{汽车}.但有些集合之间有密切的关系.如{四足动物}与{动物},前一个集合的元素都是后一个集合的元素,且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多,这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢?学完本节内容就明白了!•1.Venn图的优点及其表示•(1)优点:形象直观.•(2)表示:通常用____________的________表示集合.封闭曲线内部•2.子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.(3)特殊情形:如果集合A中存在着不是集合B中的元素,那么集合A不包含于B,或集合B不包含集合A.(4)对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC;任何集合都不是它本身的真子集.(5)若A⊆B,且A≠B,则AB.3.空集(1)定义:不含________元素的集合叫做空集,记为______.(2)规定:________是任何集合的子集.4.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;②若AB,BC,则AC.(3)若A⊆B,A≠B,则AB.任何∅空集1.已知集合M={1},N={1,2,3},则有()A.M<NB.M∈NC.N⊆MD.MND[解析]∵1∈{1,2,3},∴{1}{1,2,3}.故选D.•2.下列四个集合中,是空集的为()•A.{0}B.{x|x8,且x5}•C.{x∈N|x2-1=0}D.{x|x4}•[解析]x8,且x5的数x不存在,∴选项B中的集合不含有任何元素,故选B.B3.(2019·河南永城实验中学高一期末测试)设集合A={x|x=n2,n∈Z},B={x|x=n+12,n∈Z},则下列图形能表示集合A与B的关系的是()B[解析]解法一:对于集合A,其组成元素是n2,分子部分表示所有的整数;对于集合B,其组成元素是12+n=2n+12,分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念知,BA.解法二:用列举法表示集合如下:A={…,-32,-1,-12,0,12,1,32,2,52,…},B={…,-32,-12,12,32,52,…},所以BA.•4.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=_____.•[解析]因为B⊆A,B={3,4},A={-1,3,m},比较A,B中的元素可知m=4.4•5.(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A={x|x≤a+5},B={x|x-1或x6},若A⊆B,求a的取值范围.•[解析]∵A⊆B,∴将集合A、B分别表示在数轴上,如图所示.•由图可知,a+5-1,•∴a-6.互动探究学案命题方向1⇨集合间关系的判定•指出下列各对集合之间的关系:•(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};•(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};•(3)A={x|-1x4},B={x|x-50};•(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.•[思路分析]先找到集合中元素的特征,再由特征判断集合之间的关系.典例1[解析](1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.(3)集合B={x|x5},用数轴表示集合A,B,如下图所示,由图可知AB.(4)解法一:两个集合的元素都是正奇数,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.解法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM.•『规律方法』判断两个集合A,B之间是否存在包含关系有以下几个步骤:•第一步:明确集合A,B中元素的特征.•第二步:分析集合A,B中元素之间的关系.•(1)当集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B.•(2)当集合A中的元素都属于集合B,但集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB.•(3)当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,有A=B.•(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A,B互不包含.•〔跟踪练习1〕•判断下列各组集合之间的关系:•(1)A={x|x是12的约数},•B={x|x是36的约数};•(2)A={x|x2-x=0},•B={x∈R|x2+1=0};•(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}.[解析](1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以AB.(2)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=∅,所以BA.(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而CABD.命题方向2⇨确定集合的子集、真子集•设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.典例2[思路分析]用列举法表示集合A→根据子集中所含元素的个数写出子集→从子集中除去集合A本身即得真子集•[解析]由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,则方程的根为x=-4或x=-1或x=4.•故集合A={-4,-1,4},由0个元素构成的子集为:∅.•由1个元素构成的子集为:{-4},{-1},{4}.•由2个元素构成的子集为:{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.•由3个元素构成的子集为:{-4,-1,4}.•因此集合A的子集为:∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}.•真子集为:∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.•『规律方法』(1)若集合A中有n(n∈N+)个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集.•(2)写出一个集合的所有子集时,首先要注意两个特殊的子集:∅和自身.其次,依次按含有1个元素的子集,含有2个元素的子集,含有3个元素的子集……一一写出,保证不重不漏.〔跟踪练习2〕满足{a,b}⊆A{a,b,c,d,e}的集合A的个数是()A.2B.6C.7D.8•[解析]由题意知,集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.C命题方向3⇨由集合间的关系求参数的值和范围•(1)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=_____;•(2)已知集合A={x|x-1,或x4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.•[思路分析](1)根据子集的定义建立等量关系,注意分类讨论思想的运用;(2)对集合B是否为空集进行讨论,列出有关不等式(组),进而求出a的取值范围.1典例3[解析](1)因为B⊆A,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1.当m=1时,A={-1,3,1},B={3,1},满足B⊆A,故m=1.(2)当B=∅时,只需2aa+3,即a3;当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得a+3≥2aa+3-1或a+3≥2a2a4,解得a-4或2a≤3.综上可得,实数a的取值范围为a-4或a2.•『规律方法』(1)弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;•(2)看集合中是否含有参数,若含参数,应考虑参数使该集合为空集的情形;•(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关参数的值或取值范围.〔跟踪练习3〕已知A={x|x<3},B={x|x<a}.(1)若B⊆A,则a的取值范围是_________;(2)若A⊆B,则a的取值范围是_________;(3)若AB,则a的取值范围是_________;(4)若A=B,则a的值是_____.a≤3a≥3a33[解析](1)若B⊆A应满足a≤3.(2)若A⊆B应满足a≥3.(3)AB应满足a3.(4)若A=B则a=3.•已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.典例4[错解]由题意并结合数轴(如下图),得m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5,解得2≤m≤3.[错因分析]错解中忽略了B=∅时的情形.[正解]①当B=∅时,∅⊆A,符合题意,此时m+12m-1,解得m2.②当B≠∅时,由题意结合数轴(如下图).得m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5,解得2≤m≤3.综合上可知m的取值范围是m≤3.•『规律方法』空集是一种特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当B⊆A时,B为空集的情况容易被忽略,因此,当条件不明确时,要注意分情况讨论,本题中若不考虑B为空集的情况,将会丢掉m2这一部分解.分类讨论思想的应用•分类讨论,通俗地讲,就是“化整为零,各个击破”.分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的,采用的标准是什么.分类讨论的原则是:(1)不重不漏;(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行.•已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.•[思路分析]根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解.由于A=B,元素a在两个集合中都有,故其余两个元素的情况需分类讨论.典例5[解析]①若a+b=aca+2b=ac2,消去b得a+ac2-2ac=0,即a(c2-2c+1)=0,当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a≠0,c2-2c+1=0,即c=1.当c=1时,集合B中的三个元素也相同,∴c=1舍去,即此时无解.②若a+b=ac2a+2b=ac,消去b得2ac2-ac-a=0,即a(2c2-c-1)=0,∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.又∵c≠1,∴c=-12.当c=-12时,a+b=14aa+2b=-12a,∴b=-34a,∴A={a,14a,-12a},B={a,14a,-12a},∴A=B.综上可知c=-12.•『规律方法』1.两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.•2.若两个集合中元素均为无限多个,要看两集合的代表元素是否一致,且看代表元素满足条件是否一致,若均一致,则两集合相等.•1.已知集合A={x|x2=4},①2⊆A;②{-2}∈A;③∅⊆A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.则上列式子表示正确的有()•A.1个B.2个•C.3个D.4个•[解析]∵集合A={-2,2},故③④⑤正确.C•2.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则()•A.b=-3,c=2B.b=3,c=-2•C.b=-2,c=3D.b=2,c=-3A[解析]由题意可知,1,2是方程x2+bx+c=0的两个实根,∴1+2=-b1×2=c,∴b=-3c=2.•3.(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A⊆B,A⊆C,B={0,1,2,8},C={1,3,8,9},则集合A可以是()•A.{1,8}B.{2,3}•C.{0}D.{9}•[解析]∵A⊆B,A⊆C,•∴集合A中的元素既是集