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第一章集合与函数概念第2课时集合的表示[学习目标]1.掌握集合的两种常用表示方法：列举法和描述法(重点)．2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性．2．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}．()(2)集合{x|x3}与集合{t|t3}表示同一个集合．()(3)集合A＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素．()解析：(1)错，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．(2)对，虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．(3)错，集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素．答案：(1)×(2)√(3)×2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1，1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}解析：方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1，故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．答案：B3．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{0}B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0}D．{x＝0}解析：A是列举法；C是描述法；对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同；而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”．答案：D4．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是－1x5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1x5}．答案：{0，1，2，3，4}{x∈N|－1x5}5．平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|____________}．解析：平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标的值都大于0，即x0，y0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|x0，y0}．答案：x0，y0类型1用列举法表示集合(自主研析)[典例1]用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.解：(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7.所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，32.所以C＝－1，32.(4)由y＝x＋3，y＝－2x＋6，得x＝1，y＝4.所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．归纳升华用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)}．[变式训练]用列举法表示下列集合：(1)平方等于5的实数组成的集合为________；(2)绝对值在3到7之间的整数组成的集合为_____；(3)方程组x＋y＝0，x2＋y＝0的解集为________________．解析：(1)因为(±5)2＝5，所以平方等于5的实数组成的集合为{－5，5}．(2)绝对值在3到7之间的整数是－4，－5，－6，4，5，6，所以所求的集合为{－4，－5，－6，4，5，6}．(3)方程组的解为x＝0，y＝0，或x＝1，y＝－1，所以方程组的解集为{(0，0)，(1，－1)}．答案：(1){－5，5}(2){－4，－5，－6，4，5，6}(3){(0，0)，(1，－1)}类型2用描述法表示集合[典例2](1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；②(1，2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．(1)解析：①将1代入方程成立，将－1代入方程不成立，故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1成立，故填∈.答案：①∈∉②∈(2)解：①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．归纳升华用描述法表示集合的两个注意点1．用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要忘写集合的代表元素及元素所具有的性质，且用“|”隔开．2．若描述部分出现集合的代表元素以外的字母，要对新字母的含义予以说明或指出其取值范围．[变式训练]下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合．类型3列举法和描述法的应用[典例3]用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2且n∈N}；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的交点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：P＝{0，2，4}．(2)描述法：（x，y）y＝x2－2xy＝0或列举法：{(0，0)，(2，0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．归纳升华对用列举法和描述法表示集合的进一步认识1．寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素，二要明确元素满足的条件，三要根据集合中元素的个数来选择适当的表示方法．[变式训练](1)用描述法表示图中阴影部分(含边界)点的坐标组成的集合；(2)设集合B＝x∈N62＋x∈N，用列举法表示集合B，并判断元素1，2与集合B的关系．解：(1)用描述法表示阴影部分点的坐标组成的集合为（x，y）－1≤x≤32，－12≤y≤1且xy≥0.(2)因为x∈N，且62＋x∈N，所以当x＝0，1，4时，6x＋2＝3，2，1，满足条件，所以B＝x∈N62＋x∈N＝{0，1，4}，所以1∈B，2∉B.1．表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意的方面(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数，是有序实数对(点)，还是其他形式．(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.