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第一章集合与函数概念1．1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义[学习目标]1.通过实例，理解集合的有关概念，体会元素与集合的“属于”关系(重点)．2.理解集合元素的三个特性(重点)．3．了解常用数集及其专用符号(难点)．[知识提炼·梳理]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称为集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈Aa属于A不属于a不是集合A的元素a∉Aa不属于A3.常用数集及其表示数集名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR温馨提示注意正整数集与自然数集的区别，N*(或N＋)比N少一个元素0.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩在120分以上的同学组成一个集合．()(2)数1，0，5，12，32，64，14组成的集合有7个元素．()(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A中的元素．()解析：(1)对，“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合．(2)错，由集合元素的互异性知，该集合含有5个元素．(3)对，集合A中只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.答案：(1)√(2)×(3)√2．下列各条件中能组成集合的是()A．世界著名的景点B．在数轴上与原点非常近的点C．所有等腰三角形D．全班成绩好的同学解析：在选项A，B，D中，由于都没有确定的标准，因此不能构成集合．答案：C3.已知集合A中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：由集合元素的互异性可知，a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形．答案：D4．方程x2－4x＋4＝0的解集中含有_______个元素．解析：因为x2－4x＋4＝0，所以x1＝x2＝2.答案：15．用符号“∈”或“∉”填空．(1)0________N*；(2)1________N；(3)1.5________Z；(4)22________Q；(5)2＋3________R.解析：(1)因为N*为正整数集，所以0∉N*；(2)因为N为自然数集，所以1∈N；(3)因为Z为整数集，所以1.5∉Z；(4)因为Q为有理数集，所以22∉Q；(5)因为R为实数集，所以2＋3∈R.答案：(1)∉(2)∈(3)∉(4)∉(5)∈类型1集合的概念(自主研析)[典例1]下列各组对象中不能构成集合的是()A．拥有手机的人B．2019年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数解析：B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不正确．答案：B归纳升华判断指定的对象能不能构成集合，关键是能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．[变式训练]有以下结论：①充分接近3的实数的全体构成一个集合；②某花园十分鲜艳的花朵的全体构成一个集合；③所有的直角三角形构成一个集合；④二次函数y＝x2－2的图象上所有的点构成一个集合．其中正确的个数为()A．2B．3C．4D．1解析：①和②中元素不确定，不能构成集合；③④能构成集合．答案：A类型2元素与集合的关系[典例2](1)已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1∉A，2∈A，则()A．a－4B．a≤－2C．－4a－2D．－4a≤－2(2)下列所给关系式中，正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*A．1B．2C．3D．4解析：(1)由题意可知2×1＋a≤0，2×2＋a0，解得－4a≤－2.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，所以3∉Q，正确；③N*表示正整数集，所以0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．答案：(1)D(2)B归纳升华判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[变式训练]由形如x＝3k－1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是()A．－1∉AB．－11∈AC．3k＋2∉AD．3k2－1∈A解析：A中，当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；B中，令－11＝3k－1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A；C中，3k＋2＝3(k＋1)－1，因为k＋1∈Z，所以3k＋2∈A；D中，由于3k2－1，k2∈Z，所以3k2－1∈A.答案：D类型3集合中元素的特性及应用(互动探究)[典例3]已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值.解：因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，即a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.[迁移探究1](变换条件)若将典例3条件“－3∈A”改为“a∈A”，其他条件不变，求a的值．解：因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1.此时集合A含有两个元素－2，1，符合题意，故实数a的值为1.[迁移探究2](变换条件)若将典例3条件“－3∈A”改为“－3∉A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：由典例3可知－3∈A时，a＝0或a＝－1，则－3∉A时，a≠0且a≠－1.归纳升华1．对于集合的元素中含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或取值范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．2．当集合中的元素含有字母时，要注意分类讨论思想的应用．1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定．若元素确定，则能构成集合，否则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a∈A与a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性．