2019秋高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课课件 新人教A版选修2-1

第一章常用逻辑用语章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关真假命题的判断方法(1)灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．2．正确理解逻辑联结词的含义(1)已知命题p，q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，¬p与p真假相对．(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．(2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.题型一命题真假的判断命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点考题．这类题一般涉及命题真假的判断、含有逻辑联结词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等，并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．[典例1]已知命题p：函数f(x)＝2sin2x＋π3的图象关于x＝π6对称，命题q：函数f(x)＝2sin2x＋π3向右平移π6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是()A．¬pB．p∨qC．(¬p)∧qD．(¬p)∧(¬q)解析：因为fπ6＝2sin2π3＝3≠2，因为平移后所得函数为y＝2sin2x－π6＋π3＝2sin2x，易知此函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以q为真命题．所以(¬p)∧(¬q)为假命题．答案：D[变式训练]给出以下命题，其中为真命题的是____．①函数y＝ax(a0，a≠1)与函数y＝logaax(a0，a≠1)的定义域相同；②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝π2；③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；④若不等式|x－4|a的解集非空，则必有a0.解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝π2＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝π2，故②为假命题；函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|a的解集为空集，因此当不等式|x－4|a的解集非空时必有a0，故④为真命题．答案：①④题型二充分条件、必要条件的判断及应用1．充分条件、必要条件的判断问题，几乎是每年都考，也是近几年高考的一类热点考题，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp.(2)必要不充分条件，即pq，而q⇒p.(3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.3．充分条件与必要条件的判断．(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．[典例2]“关于x的不等式x2－2ax＋a0的解集为R”的一个必要不充分条件是()A．0a1B．0a13C．0≤a≤1D．a0或a13解析：要使不等式x2－2ax＋a0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a0，即4a2－4a0，所以0a1，此即为“关于x的不等式x2－2ax＋a0的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.答案：C[变式训练1]设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)·x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)·x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．答案：A[变式训练2]已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；而当x＝0时，a＝(－1，2)，b＝(2，1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0.答案：D题型三根据命题的真假性求参数的取值范围1．设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为∁RA.设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为∁RB.2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．[典例3]已知a0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解：对于命题p：当0a1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减；当a1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．所以若p为真命题，则0a1；若p为假命题，则a1.对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，则Δ＝(2a－3)2－40，即4a2－12a＋50，解得a12或a52.因为a0，所以若q为真命题，则0a12或a52.若q为假命题，则12≤a1或1a≤52.因为p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．若p真q假，则0a1，12≤a1或1a≤52，解得12≤a1.若p假q真，则a1，0a12或a52，解得a52.综上所述，实数a的取值范围是12，1∪52，＋∞.[变式训练1]设集合A＝{x|－2－axa，a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．解：若p为真命题，则－2－a1a，解得a1.若q为真命题，则－2－a2a，解得a2.依题意，得p假q真，或p真q假，即0a≤1，a2，或a1，0a≤2，解得1a≤2，所以a的取值范围是(1，2]．[变式训练2]已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)0.求实数p的取值范围．解：在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)0的否定是在[－1，1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，f（－1）≤0，f（1）≤0，即4＋2（p－2）－2p2－p＋1≤0，4－2（p－2）－2p2－p＋1≤0，即p≥1或p≤－12，p≥32或p≤－3.所以p≥32或p≤－3.故p的取值范围是－3，32.题型四反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则¬q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中已用到，在高考题中也经常涉及，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．[典例4]设三个正实数a，b，c满足条件1a＋1b＋1c＝2，求证：a，b，c中至少有两个数不小于1.证明：假设a，b，c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况．(1)a，b，c三数均小于1，即0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，则1a＞1，1b＞1，1c＞1.所以1a＋1b＋1c＞3，与已知条件矛盾；(2)a，b，c中有两个数小于1，不妨设0＜a＜1，0＜b＜1，而c≥1，则1a＞1，1b＞1.所以1a＋1b＋1c＞2＋1c＞2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．所以a，b，c中至少有两个数不小于1.归纳升华1．做出正确反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”．2．需注意做出的反设必须包括与结论相反的所有情况．[变式训练]若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．证明：(反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．所以a2＋b2为偶数，因为a2＋b2＝c2，所以c2为偶数．这与c2为奇数矛盾，故假设不成立，原命题成立．题型五转化与化归思想的应用将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．[典例5]判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：法一(直接法)．逆否命题：已知a，x为实数，如果a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a＜1，所以4a－7＜0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．法二(先判断原命题的真假)．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，则4a－7≥0，解得a≥74，因为a≥74＞1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．归纳升华转化与化归思想主要体现在：1．原命题与其逆否命题之间的等价转化；2．命题的等价性与充要条件之间的等价转化；3．充要条件与集合包含关系之间的转化．[变式训练]设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．解：令A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}．因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以¬q⇒¬p，且¬p¬q，则{x|¬q}{x|¬p}．而{x|¬q}＝∁RB＝{x|－4≤x＜－2}，{x|¬p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a＜0}．因为{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a，a＜0}，所以3a≥－2，a＜0，或a≤－4，a＜0.所以－23≤a＜0或a≤－4，故a的取值范围是(－∞，－4]∪－23，0.题型六分类讨论思想分