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第一章常用逻辑用语1．4.3含有一个量词的命题的否定[学习目标]1.理解全称命题、特称命题与其否定的关系(重点)．2.能正确对含有一个量词的命题进行否定(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p¬p结论∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)全称命题的否定是特称命题2.含有一个量词的特称命题的否定特称命题p¬p结论∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)特称命题的否定是全称命题温馨提示对全称命题与特称命题关系的认识1．结构关系的认识．全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外．而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．真假性的认识．全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命题的否定与特称命题的真假性相反．[思考尝试·夯基]1．“都是的”的否定是()A．都不是B．不都是C．不是D．其他答案：B2．“至多两个”的否定是()A．至少两个B．至少有三个C．有两个D．有三个答案：B3．下列命题的否定为假命题的是()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析：因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，原命题为假，则其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数不都是奇数，如整数6，它是偶数，故原命题为假，其否定为真命题；∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1正确，所以D的否定是假命题．答案：D4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋50是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定¬p：________________，它是________(填“真”或“假”)命题．解析：因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，所以p为假．答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0真5．若命题p“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，则实数m的取值范围是________．解析：因为命题p：“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，所以¬p：“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，所以Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，解得2≤m≤6.所以实数m的取值范围是2≤m≤6.答案：[2，6]类型1全称命题的否定[典例1]写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；(3)s：∀x∈R，2x＋4≥0；(4)t：不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．解：(1)¬p：有些分数不是有理数．假命题．(2)¬q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．(3)¬s：∃x0∈R，2x0＋40.真命题．(4)¬t：存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实数根．真命题．归纳升华全称命题否定的两个关键1．看格式：写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．看含义：有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．[变式训练]写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.类型2特称命题的否定[典例2]写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)至少有一个实数x0，使得x20＋2x0＋5＝0；(2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°.解：(1)命题的否定是：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0，是真命题．(2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．(3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．归纳升华1．特称命题的否定：分两步．(1)改变量词：把“存在量词”换为恰当的“全称量词”；(2)否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．2．常用存在量词的否定形式．词语存在一个有的必有一个词语的否定每一个所有的一个也没有词语至少有n个至多有一个存在词语的否定至多有n－1个至少有两个任意[变式训练]写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x1，使x2－2x－3＝0；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.解：(1)¬p：∀x1，x2－2x－3≠0.是假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．类型3特称命题、全称命题的应用(巧思妙解)[典例3]已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．[常规解答]由题意，知p真或q真．当p是真命题时，m＜0；当q是真命题时，Δ＝m2－4＜0，得－2＜m＜2.因此，当p∨q为真命题时，m＜0或－2＜m＜2，即m＜2.[巧妙解答]若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，此时m需满足m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.因为p∨q与¬(p∨q)真假性互异，所以当p∨q为真命题时，m＜2.归纳升华1．数学思想方法是解数学题的灵魂，不同的思考角度会带来不同的解题思路．2．常规解答是分类讨论思想的体现，巧妙解答是建立在等价转化思想的基础上的．[类题尝试]已知a＞0，设p：函数y＝ax在R上单调递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．[常规解答]若p为真命题，则y＝ax在R上单调递增，所以a＞1；若q为真命题，则不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立，所以Δ＜0，即a2－4a＜0，所以0＜a＜4.①而命题p∧q为假，p∨q为真，则p，q中一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0＜a≤1.所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．[巧妙解答]由①得：p：a＞1，q：0＜a＜4，所以p∧q：1＜a＜4，p∨q：a＞0.因为p∧q为假，所以a≤1或a≥4.因为p∨q为真，所以a＞0.将其表示在数轴上，如图．由数轴知：a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．含有一个量词的命题的否定的方法如下：1．确定命题类型，是全称命题还是特称命题．2．改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词，把存在量词改为恰当的全称量词．3．否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．4．无量词的全称命题要先补回量词再否定.