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第一章常用逻辑用语1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词[学习目标]1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词和存在量词的含义(重点)．2.掌握全称命题和特称命题的定义并能够判断它们的真假(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．全称量词与全称命题(1)全称量词．短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫作全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)存在量词．短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．(2)特称命题．含有存在量词的命题，叫作特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．温馨提示理解全称命题及特称命题时应关注的三点1．全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．2．有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．3．特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．[思考尝试·夯基]1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析：A，B，C中都含全称量词，D中含“存在”，为存在量词，所以不是全称命题.答案：D2．下列命题中含有全称量词的是()A．至少有一个自然数是2的倍数B．存在小于零的整数C．方程ax＝2(a0，a≠1)有实数根D．若a⊥α，则直线a垂直于平面α内的任一直线解析：A、B、C都是含有存在量词，只有D含有全称量词．答案：D3．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．x7D．∀x∈M，p(x)成立解析：B含有存在量词，是特称命题．答案：B4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是______，既是特称命题又是真命题的是______(填上所有满足要求的序号)．解析：①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.答案：①②③④⑤5．已知命题：“∃x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解析：若存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0，则等价为存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0≥－a，当存在x0∈[1，2]时，设y＝x20＋2x0＝(x0＋1)2－1，则3≤y≤8，所以要使x2＋2x≥－a，则8≥－a，即a≥－8.答案：[－8，＋∞)类型1全称命题与特称命题的判定(自主研析)[典例1]判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)负数没有对数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x0∈{x|x∈Z}，log2x00.解：(1)虽然表面看并不含量词，但从意义上来理解却含有全称量词“全部”“所有的”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题．(3)明显是全称命题．(4)明显是特称命题．归纳升华判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤1．判断该语句是否为命题；2．看命题中是否含有量词，含有量词时，该量词是全称量词还是存在量词；3．对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．[变式训练](1)下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个物体都有体积D．一定存在没有最大值的对数函数(2)下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案：(1)D(2)D[典例2](1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”；(2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x0∈R，q(x0)”．解：(1)依题意可得以下几种不同的表述：对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和为360°.(2)依题意可得以下几种不同的表述：存在实数x0，使x20＝x0成立；至少有一个x0∈R，使x20＝x0成立；对有些实数x0，使x20＝x0成立；有一个x0∈R，使x20＝x0成立．对某一个x0∈R使x20＝x0成立．归纳升华同一全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，现列表总结如下：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x0∈A，p(x0)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任意一个x∈A，p(x)成立；⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x0∈A，使p(x0)成立；②至少有一个x0∈A，使p(x0)成立；③对有些x0∈A，p(x0)成立；④对某个x0∈A，p(x0)成立；⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立[变式训练]用量词符号“∀”“∃”表述下列命题．(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x0满足x20＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.类型3全称命题与特称命题的真假判断[典例3](1)有下列四个命题：①∀x∈R，2x2－3x＋40；②∀x∈{1，－1，0}，2x＋10；③∃x0∈N，x20≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知命题p：∀x0，x＋4x≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝12，则下列判断正确的是()A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(¬q)是真命题D．(¬p)∧q是真命题解析：(1)对于①，这是全称命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×40，所以2x2－3x＋40恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，因为当x＝－1时，2x＋10不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x20≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．(2)由基本不等式知命题p正确；由2x0＝12知，x0＝－1，故命题q不正确；结合逻辑联结词的含义可知应选C.答案：(1)C(2)C归纳升华全称命题与特称命题真假的判断方法1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．2．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．[变式训练]指出下列语句哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀a∈R，a0＝1；(2)∃x0∈R，使得|x0－3|＝3－x0；(3)10既是2的倍数，也是5的倍数．解：(1)该命题是全称命题，因为a＝0时，a0≠1，所以该命题为假命题．(2)该命题是特称命题，真命题．(3)是“p∧q”形式的真命题，既不是特称命题，也不是全称命题．类型4利用全称命题与特称命题求参数的取值范围[典例4]若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．解：法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2，则f(x)≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝2－a2，a≥－1，（1＋a）2＋2－a2，a－1.由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3，1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或Δ＝4a2－4（2－a）0，a－1，f（－1）≥0，即－2≤a≤1或－3≤a－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3，1]．归纳升华求解含有量词的命题中参数范围的策略1．对于全称命题“∀x∈M，af(x)(或af(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(或af(x)min)．2．对于特称命题“∃x0∈M，af(x0)(或af(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max)．[变式训练1]若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解：①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－60，不恒成立．②当m＋1≠0时，则m＋10，Δ0，⇒m－1，Δ＝（m－1）2－4（m＋1）·3（m－1）0，⇒m－1，m－1311或m1，综上，得m－1311.[变式训练2]已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围．解：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74，所以实数a的取值范围为74，＋∞.1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．