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第一章常用逻辑用语1．3简单的逻辑联结词[学习目标]1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．2.判断“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假(重点)．3．理解逻辑联结词“或”的含义(难点)．[知识提炼·梳理]1．用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q．2．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作非p或p的否定．温馨提示1．命题的否定的真假与原命题的真假相反，而否命题的真假与原命题的真假无关．2．p∧q,两个真才是真；p∨q,一个真就是真；p与¬p,一真一假．(1)如果“p∧q”为真命题，“p∨q”一定是真命题；(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”不一定是真命题．[思考尝试·夯基]1．已知命题p∧(¬q)是真命题，则下列命题中也是真命题的是()A．(¬p)∨qB．p∨qC．p∧qD．(¬p)∧(¬q)解析：命题p∧(¬q)是真命题，则p为真命题，¬q也为真命题，可推出¬p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选B.答案：B2．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，为真命题的是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4答案：C3．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．答案：D4．命题“若ab，则2a2b”的否命题为________________，命题的否定为________________．答案：若a≥b，则2a≥2b若ab，则2a≥2b.5．若命题p：不等式ax＋b0的解集为x|x－ba，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)0的解集为{x|axb}，则“p∧q”“p∨q”“¬p”中真命题是________．答案：¬p类型1含逻辑联结词的命题的构成(自主研析)[典例1]写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题．(1)p：5是有理数，q：5是整数；(2)p：不等式x2－2x－30的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－30的解集是(3，＋∞)．解：(1)p或q：5是有理数或5是整数；p且q：5是有理数且5是整数；非p：5不是有理数．(2)p或q：不等式x2－2x－30的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－30的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－30的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－30的解集是(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－30的解集不是(－∞，－1)．归纳升华用逻辑联结词构造新命题的两个步骤1．确定两个简单命题p，q；2．分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”，用“非”将命题p全盘否定，得到命题“¬p”．[变式训练]写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的复合命题．(1)p：1是素数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解：(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．¬p：1不是素数．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．¬p：有些平行四边形的对角线不相等．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．¬p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．类型2判断含逻辑联结词命题的真假[典例2]指出下列命题的形式及命题的真假．(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“¬p”的形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p∨q”的形式．其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题．归纳升华判断含逻辑联结词的命题真假的步骤1．明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“¬p”；2．对命题p和q的真假作出判断；3．由“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假判断方法给出结论．[变式训练]分别指出下列各组“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假．(1)p：22，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．解：(1)因为p：22，是假命题，q：2＝2，是真命题，所以命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．(2)因为p：∅是{0}的真子集，是真命题，q：0∈∅，是假命题，所以命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是假命题．(3)因为p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，所以命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．类型3逻辑联结词的应用——求参数的取值范围[典例3]设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．若使p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．解：由Δ1＝4m2－40，x1＋x2＝－2m0，得m－1，所以p：m－1.由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)0，知－2m3.所以q：－2m3.由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，(1)当p真q假时，m－1，m≥3或m≤－2，此时m≤－2，(2)当p假q真时，m≥－1，－2m3，此时－1≤m3.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．归纳升华解决由含有逻辑联结词的三种命题的真假求参数的取值范围问题时，(1)由命题p∧q，p∨q，非p的真假确定命题p、q可能的真假情况，依次讨论求解；(2)注意补集思想的应用，当“p假”不易求解时改为求“p真”时参数的取值范围构成的集合的补集．[变式训练]设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b0对任意x∈(－∞，－1)恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解：若p为真命题，则ax2－4x＋a0对x∈R都成立，则(－4)2－4a20且a0，即a0，16－4a20，解得a2.若q为真命题，则由a·b0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，知2x2＋x－(ax＋2)0，即a2x－2x＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a2x－2x＋1max.令f(x)＝2x－2x＋1，可知f(x)在(－∞，－1]上是增函数，当x＝－1时取得最大值，ymax＝1.故a≥1.又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题．若p真q假，则a2，a1，无解；若p假q真，则a≤2，a≥1，则1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[1，2]．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．3．若命题p为真，则“¬p”为假；若p为假，则“¬p”为真．类比集合知识，“¬p”就相当于集合p在全集U中补集∁Up，因此(¬p)∧p为假，(¬p)∨p为真．4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别(易错点).