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第一章常用逻辑用语1．2.2充要条件[学习目标]1.理解充要条件的意义(重点)．2.能熟练判断条件与结论之间的充分性、必要性、充要性(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．充要条件(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．2．互为充要条件如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．温馨提示从集合的角度来理解，已知集合A＝{x|p}，B＝{x|q}，若A＝B，我们称p和q互为充要条件．[思考尝试·夯基]1．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由θ＝0可得sinθ＝0，反之若sinθ＝0，则θ不一定为0.答案：A2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B4．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0，且ab0”的________条件．解析：由a0且b0⇒a＋b0且ab0，同时由a＋b0且ab0⇒a0且b0.答案：充要5．已知a，b，c∈R，则“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的________条件．解析：因为2b＝a＋c，所以b－a＝c－b，所以a，b，c成等差数列．又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，故为充要条件．答案：充要类型1充要条件的判断(自主研析)[典例1](1)“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)设a，b∈R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝3”是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：(3)当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，所以l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：(1)B(2)C(3)充要归纳升华判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．[变式训练](1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．解析：(1)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1.反之，若a＜－1，则Δ＜0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．答案：(1)D(2)a＜－1类型2充要条件与参数的范围(互动探究)[典例2]已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}．(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？(3)当a为何值时，p是q的充要条件？解：因为A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1，2]．(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，而当a＝1时，A＝{1}，显然成立，当a1，A＝[1，a]，需1a2，综上可知，当1≤a2时，p是q的充分不必要条件．(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，故A＝[1，a]，且a2，所以当a2时，p是q的必要而不充分条件．(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.[迁移探究1](改变问法)若典例2条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？解：p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，q：B＝[1，2]，若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但pq，即p是q的必要不充分条件，故a的取值范围为(2，＋∞)．[迁移探究2](变换条件)若把典例2中B集合改为：B＝{x|x2＋x－2≤0}，其他条件不变，则a为何值？解：B＝{x|x2＋x－2≤0}＝[－2，1]，此时，(1)AB，得：－2a≤1.(2)BA，得：a－2.(3)A＝B，得：a＝－2.归纳升华应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤为：1．根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．2．根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解．类型3充要条件的证明(规范解答)[典例3](本小题满分12分)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.审题指导：解答本题可先确定p和q，然后再分充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)和必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)进行证明．[规范解答]充分性：因为ac＜0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，(3分)所以方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，(5分)所以方程两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．(6分)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca＜0，(9分)即ac＜0.(10分)综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.(12分)归纳升华1．有关充要条件的证明问题，证明时要分两个环节：一是证充分性，二是证必要性．要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．2．证明充要条件问题，若直接证明困难，则可先根据命题之间的关系进行等价转换，再加以证明．[类题尝试]证明：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx(k≠0)．因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立．即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.充分条件、必要条件与充要条件的判断方法：1．定义法：2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件；若¬p¬q，且¬q¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.