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第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题[学习目标]1.了解命题的概念．2.会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式．3.会判断一些简单命题的真假(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．命题的概念(1)命题的定义是：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句；(2)真命题的定义是：判断为真的语句；(3)假命题的定义是：判断为假的语句；(4)命题的分类：真命题；假命题。2．命题的结构形式形式：“若p，则q”，其中，命题的条件是p，命题的结论是q．[思考尝试·夯基]1．下列语句不是命题的是()A．3是12的约数B．等腰三角形的两底角相等C．明天是晴天吗？D．正方形的四个内角均为直角解析：选项C为一般疑问句，所以不是命题．答案：C2．语句“若ab，则a＋cb＋c”是()A．不是命题B．真命题C．假命题D．不能判断真假解析：考查不等式的性质，两边同加上同一个数，不等式仍然成立．答案：B3．若M，N是两个集合，则下列命题中是真命题的是()A．若M⊆N，则M∩N＝MB．若M∩N＝N，则M⊆NC．若M⊆N，则M∪N＝MD．若M∪N＝N，则N⊆M解析：当M⊆N时，能推出M∩N＝M，A正确．答案：A4．下列句子或式子中，是命题的个数为()①语文与数学；②把门关上；③x2－3x－4＝0；④3x－20；⑤垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑥一个数不是合数就是质数．A．1B．2C．3D．5解析：只有⑥是命题．答案：A5．命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的条件是______________________________________，结论是____________________________________．解析：该命题写成“若p，则q”的形式为：若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．故其条件为：角平分线上的点；结论为：该点到角两边的距离相等．答案：角平分线上的点该点到角两边的距离相等类型1命题的定义(自主研析)[典例1]下列语句为命题的有________(填序号)．①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22020是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析：①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句．答案：①④归纳升华并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：(1)是否为陈述句；(2)能否判断真假．[变式训练]判断下列语句是不是命题．(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3＞0.解：(2)、(4)、(5)、(6)是命题，(1)、(3)、(7)不是命题．类型2命题的真假判断[典例2]判断下列命题的真假．(1)形如a＋b6的数都是无理数；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)偶函数的图象关于原点对称；(4)能被2整除的数一定不是素数．解：(1)形如a＋b6的数不一定是无理数，例如当a＝1，b＝6时，所以是假命题；(2)例如常数列2，2，2，2，…，所以是假命题；(3)偶函数的图象关于y轴对称，所以是假命题；(4)2能被2整除，但2是素数，所以是假命题．归纳升华1.判断命题真假的两个技巧.（1）真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格推理论证得出要证的结论.（2）假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.2.判断命题真假的三种方法.[变式训练]判断下列命题的真假．(1)合数一定是偶数；(2)方程ax＋1＝x＋2有唯一解；(3)若a·b＞0且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca＞0.解：(1)9是合数，但不是偶数，是假命题；(2)a＝1时，无解，是假命题；(3)、(4)为真命题．类型3命题的结构形式[典例3]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)对顶角相等；(2)当sinA＝sinB时，A＝B；(3)在△ABC中，当sinA＝sinB时，A＝B.解：(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等，真命题．(2)若sinA＝sinB，则A＝B，假命题．(3)在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B，真命题．归纳升华把命题写成“若p，则q”形式的策略1．“若p，则q”型可直接看出命题的条件和结论：p是条件，q是结论．2．命题中有前提条件时，前提条件不参与改写，它不是条件，也不是结论．3．非“若p，则q”型可先确定命题的条件和结论，再将命题写成“若p，则q”的形式．[变式训练]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)由acbc可以推出ab；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m14时，mx2－x＋1＝0无实根；(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.解：(1)若acbc，则ab.该命题为假命题．(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.该命题为假命题．(3)若m14，则mx2－x＋1＝0无实根．该命题为真命题．(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.该命题为真命题．1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：(1)是不是陈述句；(2)能否判断真假．2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p，则q”形式的关键．