2019秋高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教A版选修4-5

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1．1.2基本不等式[学习目标]1.理解定理1和定理2(基本不等式)(重点)．2.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题(重点、难点)．3.了解两个正数的算术平均数与几何平均数．1．定理1如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．定理2如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．温馨提示(1)基本不等式中注意a，b的限制条件；(2)“＝”成立的条件．3．重要结论已知x，y都是正数，则：(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______．2p14S21．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)x＋1x的最小值是2.()(2)x2＋2x2＋1的最小值是2.()(3)2－3x－4x的最小值是2.()解析：(1)当x＜0时，x＋1x＜0，故(1)错误；(2)当x＝0时，x2＋2x2＋1的最小值是2，(2)正确；(3)x＝2时，2－3x－4x＝－6，故(3)错误．答案：(1)×(2)√(3)×2．“a＞0且b＞0”是“a＋b2≥ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由基本不等式知，a＞0且b＞0时，可得a＋b2≥ab，但a＋b2≥aba＞0且b＞0，如a＝1，b＝0.所以“a＞0且b＞0”是“a＋b2≥ab”的充分不必要条件．答案：A3．设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b解析：因为0ab，所以aa＋b2b，A、C错误；ab－a＝a(b－a)0，即aba，故选B.答案：B4.已知x0，则2x＋8x的最小值和取得最小值时x的值分别是()A．8，2B．8，4C．16，2D．16，4解析：2x＋8x≥22x·8x＝8，当且仅当2x＝8x，即x＝2时，取“＝”．答案：A5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．解析：因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3b时，取“＝”，即2a＋18b的最小值为14，结合a－3b＋6＝0，知此时a＝－3，b＝1.答案：14类型1利用基本不等式证明不等式(自主研析)[典例❶]设a，b，c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．证明：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2.又a，b，c∈R＋，所以a2＋b2≥22|a＋b|＝22(a＋b)．同理：b2＋c2≥22(b＋c),c2＋a2≥22(a＋c)．三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．归纳升华1．用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．2．重要不等式和基本不等式有着多种变形形式，这些变形形式在证明不等式时有着非常重要的作用．如：若a，b∈R，则ab≤a2＋b22.[变式训练]已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：因为a0，b0，c0，所以a2b＋b≥2a2b·b＝2a(当且仅当a＝b时取等号)，同理：b2c＋c≥2b(当且仅当b＝c时取等号)，c2a＋a≥2c(当且仅当a＝c时取等号)，三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，所以a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时取等号)．类型2利用基本不等式求最值(互动探究)[典例2](1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则1x＋2y的最小值是____________；(2)设x，y是正实数，且x＋y＝6，则lgx＋lgy的最大值是____________．解析：(1)1x＋2y＝1x＋2y·1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4xy＋yx≥4＋24xy·yx＝8，当且仅当4xy＝yx时，等号成立．又因为2x＋y＝1，所以x＝14，y＝12，所以当x＝14，y＝12时，1x＋2y取最小值8.(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y2≥xy，所以xy≤x＋y22.lgx＋lgy＝lgxy≤lgx＋y22＝lg622＝2lg3，当且仅当x＝y时，等号成立．又x＋y＝6，所以x＝3，y＝3.所以当x＝3，y＝3时，lgx＋lgy取最大值2lg3.答案：(1)8(2)2lg3[迁移探究](变换条件，改变问法)若x＜0，求f(x)＝4x＋16x的最大值是________．解析：因为x＜0，所以－x＞0，f(x)＝4x＋16x＝－－4x＋16－x≤－2（－4x）·16－x＝－2×64＝－16.当且仅当－4x＝16－x，即x＝－2时，“＝”成立．所以f(x)的最大值为－16.答案：－16【迁移探究】应用基本不等式求最值的三步曲1.首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；2.其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；3.利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．类型3基本不等式的实际应用(规范解答)[典例3](本小题满分10分)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．审题指导：设容器底面的长和宽分别为x，y，造价为W，建立函数关系式．然后利用基本不等式求出最值即可．[规范解答]设容器底面的长为x，宽为y，总造价为W，(1分)依题意知xy＝4，即y＝4x.(3分)所以总造价W＝20xy＋2(x＋y)·1×10＝80＋80x＋20x＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)．失分警示：若漏掉此定义域则扣1分.所以W＝20x＋4x＋80≥20×2x·4x＋80＝160，(8分)当且仅当x＝4x，即x＝2时，“＝”成立．(9分)所以最低总造价是160元．(10分)归纳升华应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题意，尤其是带有说明的地方，再列出不等式或函数式，最后利用不等式的知识求解．同时要注意未知数的取值范围，如：时间应为正数，人或某些物品数应是正整数等，以免得出与实际不符的结论．[类题尝试]某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、养路费、汽油费总和以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用．设使用x年平均费用最少．由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x年总的维修费用为（0.2＋0.2x）·x2万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝10＋0.9x＋（0.2＋0.2x）·x2x＝10＋x＋0.1x2x＝1＋10x＋x10≥1＋210x·x10＝3.当且仅当10x＝x10，即x＝10时，y取最小值．即汽车使用10年时，它的年平均费用最少．1．在公式a2＋b2≥2ab及a＋b2≥ab的应用中，应注意三点：(1)a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数．(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是：①当a＝b时，a2＋b2＝2ab；②当a2＋b2＝2ab时，a＝b；③当a≠b时，a2＋b2＞2ab；④当a2＋b2＞2ab时，a≠b.(3)对基本不等式：a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时等号成立，作类似理解．2．利用基本不等式求最值必须满足条件：①函数中的相关项必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数；③当且仅当各项相等时，“＝”号才能取到．以上条件可简化为“一正、二定、三相等”．求函数最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．有些题目，尽管形式上是x＋px型的式子，即两数之积为常数，但由于定义域的限制，不能使等号成立，如y＝x＋1x(x≥5)的最小值，尽管x＋1x≥2，当x＝1x时，但x＝1时取“＝”号，而x＝1不在其定义域[5，＋∞)内，因此不能使用基本不等式．3．连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的一致性．