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第四讲数学归纳法证明不等式4．2用数学归纳法证明不等式[学习目标]1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式(重点)．2．了解贝努利不等式．3．会用数学归纳法证明贝努利不等式(难点)．1．贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx．(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．2．数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．①证明：当n取第一个值n0时结论成立；②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)用数学归纳法证明不等式的关键．用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，即由假设f(k)＞g(k)成立，证明f(k＋1)＞g(k＋1)成立．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：①当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2＜（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)可知对任何n∈N＋，n2＋n＜n＋1都成立．则对上述证法的说法中：(1)过程全部正确．()(2)n＝1验证不正确．()(3)归纳假设不正确．()(4)从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．()解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正确，(1)、(2)、(3)不正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12＜2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D．1＋12＋13＋14＜3解析：因为n∈N＋，n＞1，所以n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.答案：B3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：n取1，2，3，4时不等式不成立，起始值为5.答案：C4．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n＋1）2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立之后，证明n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_______________________．解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．答案：122＋132＋…＋1（k＋1）2＋1（k＋2）2＞12－1k＋35．证明n＋221＋12＋13＋…＋12nn＋1(n1)，当n＝2时，要证明的式子为____________________．解析：当n＝2时，要证明的式子为21＋12＋13＋143.答案：21＋12＋13＋143类型1用数学归纳法证明不等式(自主研析)[典例❶]用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12，32≤32，所以不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k成立，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋12k＋2k＋…＋12k＋2k,\s\up6(,2k个))＝1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.即当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*不等式都成立．归纳升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[变式训练]设a∈R，f(x)＝a·2x＋a－22x＋1是奇函数．(1)求a的值；(2)如果g(n)＝nn＋1(n∈N*)，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N*)．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故a＝1.(2)f(n)－g(n)＝2n－12n＋1－nn＋1＝2n－2n－1（2n＋1）（n＋1）.当n＝1，2时，f(n)g(n)；当n≥3时，2n2n＋1，f(n)g(n)．证明如下：n≥3时，2n2n＋1，即f(n)g(n)．①n＝3时，232×3＋1，显然成立．②假设n＝k(k≥3，k∈N*)时，2k2k＋1，那么n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k2(2k＋1)．因为2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－10，所以2k＋12(k＋1)＋1.所以n＝k＋1时，不等式也成立，由①②可以判定，n≥3，n∈N*时，2n2n＋1.所以当n＝1，2时，f(n)g(n)；当n≥3，n∈N*时，f(n)g(n)．[典例2]已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1(n∈N＋)，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．解：由已知得an＝1＋（2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)2，bn＝2n－12－1＝2n－1.类型2不等关系中的归纳、猜想与证明当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5，当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，…由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下．①当n＝6时，上面已证a6＜b6.②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立，即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1.当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1，即证(k＋2)2＜2k＋1－1，只需证(k＋2)2＜2·2k－1，根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1，所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1，即k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，即k2＞1.因为k≥6，所以此式显然成立．即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题都成立．归纳升华利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断；猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时．[变式训练]若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．解：当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＞a24，则2624＞a24，所以a＜26.又a∈N＋，所以取a＝25.下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1＞2524.(1)n＝1时，由上面求解过程，不等式成立．(2)假设当n＝k时，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＞2524.所以当n＝k＋1时，1（k＋1）＋1＋1（k＋1）＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13（k＋1）＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1＞2524＋13k＋2＋13k＋4－23（k＋1），因为13k＋2＋13k＋4＝6（k＋1）9k2＋18k＋8＞23（k＋1），所以13k＋2＋13k＋4－23（k＋1）＞0，所以1（k＋1）＋1＋1（k＋1）＋2＋…＋13（k＋1）＋1＞2524成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1＞2524，所以a的最大值为25.用数学归纳法证明不等式应注意以下四点：(1)在从n＝k到n＝k＋1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征．(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，从中分离出n＝k时的相应式子，借助不等式性质用上归纳假设．(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明．(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明．