2019秋高中数学 第三章 直线与方程章末复习课课件 新人教A版必修2

第三章直线与方程章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．解决截距问题不忽略“0”的情形解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负，也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴平行的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．2．弄清直线的倾斜角与斜率关系在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tanx的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．3．不要忽视斜率不存在的情况(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.专题1直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．(1)对应关系．①当α≠90°时，k＝tanα；②当α＝90°时，斜率不存在．(2)单调性．当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k＝y2－y1x2－x1，应用时注意其适用的条件是x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．[例1](1)点(3，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°(2)已知在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(2，1)，中心E(3，3)．①判断平行四边形ABCD是否为正方形；②点P(x，y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动，求yx的取值范围．(1)解析：将点(3，4)代入直线方程，求得a＝3，所以直线l：3x－y＋1＝0，斜率k＝3，所以倾斜角为60°.答案：C(2)解：①因为平行四边形的对角线互相平分，所以由中点坐标公式得C(5，4)，D(4，5)．所以kAB＝－1，kBC＝1，所以kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，即平行四边形ABCD为矩形，又|AB|＝2，|BC|＝32，所以|AB|≠|BC|，即平行四边形ABCD不是正方形．②因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动，所以yx的几何意义为直线OP的斜率，作出大致图象，如图所示．由图可知kOB≤kOP≤kOA，因为kOB＝12，kOA＝2，所以12≤kOP≤2，所以yx的取值范围为12，2.归纳升华求直线斜率的方法1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tanα.2．公式法．若直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1x2－x1.3．数形结合法．已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：(1)连接PA，PB.(2)由k＝y2－y1x2－x1求出kPA，kPB.(3)结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．[变式训练]如果直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，求直线l′的倾斜角和斜率．解：如图所示，因为直线l的倾斜角为150°，所以l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，l′的斜率k＝tanα＝tan30°＝33.专题2直线的平行与垂直问题1．两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合．2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[例2]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又因为点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)因为l1∥l2，且l2的斜率为1－a，所以l1的斜率也存在，且ab＝1－a，即b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4（a－1）a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.因为原点到l1与l2的距离相等，所以4a－1a＝a1－a，所以a＝2或a＝23.所以a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.归纳升华考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．[变式训练]已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－34.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解：(1)由直线的点斜式方程，得y－5＝－34(x＋2)，整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)，由点到直线的距离公式得|3×（－2）＋4×5＋C|32＋42＝3，|14＋C|5＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.专题3距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表：类别已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点到直线的距离P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两平行直线间的距离l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)d＝|C2－C1|A2＋B2[例3]求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为2的直线方程．解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)，即kx－y＝0.由已知，得|3k－1|k2＋1＝2，整理得7k2－6k－1＝0，解得k＝－17或k＝1，所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0.②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0(C≠0)，由已知得|4＋C|2＝2，解得C＝－6或C＝－2.所以所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.归纳升华1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需先把直线方程化为一般式方程，再直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解．[变式训练]已知一条直线经过点A(1，2)，并且与点B(2，3)和C(0，－5)的距离相等，求此直线方程．解：法一假设所求直线的斜率存在，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.由题设有|2k－3－k＋2|1＋k2＝|0＋5－k＋2|1＋k2，即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4，当所求直线的斜率不存在时，方程x＝1，经验证，x＝1符合题意，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.法二如图所示．由题设可知A，B，C三点不共线，故当过点A(1，2)的直线与点B(2，3)，C(0，－5)的距离相等时，所求直线与BC平行或过BC的中点．因为kBC＝－5－30－2＝4，所以所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.当所求直线过BC的中点时，因为BC的中点为(1，－1)，且A(1，2)，所以所求直线方程为x＝1.故所求直线方程为x＝1和4x－y－2＝0.专题四数形结合思想的应用数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决．[例4]已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)，同理可得点M关于y轴的对称点M2(－3，5)，如图所示．根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q0，72，解方程组x＋2y－7＝0，x－2y＋2＝0，得两直线的交点P52，94.所以点P52，94与点Q0，72即为所求．归纳升华利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．[变式训练]点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－5λ＝0的距离为d，则d的最大值为________．解析：直线l的方程可化为x＋y－2＋λ(3x＋y－5)＝0，由x＋y－2＝0，3x＋y－5＝0，解得x＝32，y＝12.所以直线l过定点A32，12.如图，d≤|PA|.当PA⊥l时，d取最大值|PA|.因为|PA|＝－2－322＋－1－122＝582，所以d的最大值为582.答案：582