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第三章直线与方程3．3直线的交点坐标与距离公式3．3.1两条直线的交点坐标3．3.2两点间的距离第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离[学习目标]1.了解两点间的距离公式的推导．2.理解二元一次方程组的解与两直线的位置关系，并能求两直线的交点坐标(重点)．3.理解并掌握两点间的距离公式，能运用两点间的距离公式解决实际问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝a，y＝b2.两直线的位置关系方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2．(2)文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．温馨提示此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．()(3)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．()解析：(1)点A在直线上，则一定适合直线l的方程，故(1)正确．(2)由两直线相交定义可知(2)正确．(3)两点间距离适合于坐标系内任何位置，故(3)不正确．答案：(1)√(2)√(3)×2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为()A．(－4，－3)B．(4，3)C．(－4，3)D．(3，4)解析：由方程组3x＋2y＋6＝0，2x＋5y－7＝0，得x＝－4，y＝3.答案：C3．方程组3x＋y＋1＝0，6x＋2y－5＝0解的个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析：6x＋2y－5＝0可化为3x＋y－52＝0，此直线与直线3x＋y＋1＝0平行，所以原方程组无解．答案：A4．设Q(1，3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是______________．解析：由题意设点P的坐标为(a，0)，则|PQ|＝（a－1）2＋（0－3）2＝5，解得a－1＝±4，即a＝5或－3，故点P的坐标是(5，0)或(－3，0)．答案：(5，0)或(－3，0)5．已知△ABC的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．解析：BC的中点为M(6，0)，|AM|＝（6－7）2＋（0－8）2＝65.答案：65类型1两条直线的交点问题(自主研析)[典例1](1)三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则a的值是()A．－2B．－1C．0D．1(2)求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．(1)解析：联立4x＋3y＝10，2x－y＝10，得交点P(4，－2)．又点P(4，－2)在直线ax＋2y＋8＝0上，所以4a＋2×(－2)＋8＝0，则a＝－1.答案：B(2)解：解方程组2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，得x＝－1，y＝0，所以两直线的交点坐标为(－1，0)，又直线的斜率为3，故所求直线方程为y－0＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.归纳升华判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．1．解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．2．解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．3．最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．[变式训练]已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．解析：解方程组5x＋4y＝2a＋1，2x＋3y＝a，得x＝2a＋37，y＝a－27，交点在第四象限，所以2a＋37＞0，a－27＜0，解得－32＜a＜2.答案：－32＜a＜2类型2两点间距离公式的应用[典例2]在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等．解：法一设点P的坐标为(x，y)，由点P在l上和到A，B距离相等建立方程组3x－y＋1＝0，（x－1）2＋（y＋1）2＝（x－2）2＋y2，解得x＝0，y＝1，所以点P的坐标为(0，1)．法二设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，①又3x－y＋1＝0，②解由①②组成的方程组3x－y＋1＝0，x＋y－1＝0，得x＝0，y＝1，所以所求的点为P(0，1)．归纳升华1．计算两点间距离的方法：(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题目有时还要注意构成三角形的条件．[变式训练]已知△ABC的顶点坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．解：法一因为|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，所以|AC|＝|AB|，即AC＝AB.所以△ABC是等腰三角形．因为kAC＝7－11－（－3）＝32，kAB＝－3－13－（－3）＝－23，所以kAC·kAB＝－1.所以AC⊥AB.所以△ABC是等腰直角三角形．法二因为|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52，|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝104，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，|AB|＝|AC|.所以AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC.所以△ABC是等腰直角三角形．类型3直线恒过定点问题(巧思妙解)[典例3]求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)·y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．[常规解法]对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入原方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．[巧妙解法]将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0，解得x＝2，y＝－3.所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．归纳升华直线恒过定点问题的解法1．对直线中的参数任赋给两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．2．含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0解得．若能整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．[变式训练]不论m怎样变化，直线(m－2)x－(2m＋1)y－(3m＋4)＝0恒过定点________．解析：原方程可化为(x－2y－3)m－(2x＋y＋4)＝0，则x－2y－3＝0，2x＋y＋4＝0，得x＝－1，y＝－2.所以直线恒过定点(－1，－2)．答案：(－1，－2)1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交，注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)当P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)当P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)当P1，P2在直线y＝kx＋b(k≠0)上时，|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x2－x1）2＋（kx2－kx1）2＝1＋k2·|x2－x1|.