2019秋高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课件 新人教A版必修2

第三章直线与方程3．2.2直线的两点式方程3．2.3直线的一般式方程[学习目标]1.理解直线的两点式、截距式及一般式的特征．2.理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程(重点)．3.掌握直线方程各种形式之间的相互转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．直线的两点式与截距式方程形式两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线温馨提示要注意方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者不能表示平行于坐标轴的直线，后者适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系．①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(2)直线的一般式方程的定义．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)斜率不存在的直线有两点式方程．()(2)与x轴平行的直线没有两点式方程．()(3)过原点的直线没有截距式方程．()(4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是y－y1x－x1＝y2－y1x2－x1.()解析：(1)斜率不存在的直线不能用两点式表示，故(1)不正确．(2)与x轴平行的直线没有两点式方程，故(2)正确．(3)由截距式方程知截距不能为零，故不过原点，故(3)正确．(4)过两点的方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)，故(4)不正确．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．经过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是()A．2x＋y－7＝0B．2x－y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．－2y＋4＝0解析：由题意可得直线的两点式方程为y－37－3＝x－24－2，化简得2x－y－1＝0.答案：C3．直线x3＋y4＝1与两坐标轴围成的三角形的周长为()A．7B．6C．12D．14解析：直线x3＋y4＝1与两坐标轴的交点分别为(3，0)，(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为3＋4＋32＋42＝12.答案：C4．以点P(5，8)和Q(3，－4)为端点的线段的方程是________．解析：过两点P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是y－8－4－8＝x－53－5，即6x－y－22＝0(3≤x≤5)．答案：6x－y－22＝0(3≤x≤5)5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________________．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0类型1利用两点式求直线方程(自主研析)[典例1]已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，求：(1)BC边的方程；(2)BC边上的中线所在直线的方程．解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式得，y－（－4）－2－（－4）＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝5＋02＝52，b＝－4＋（－2）2＝－3，所以点M的坐标为52，－3.又BC边的中线过A(－3，2)，所以y－2－3－2＝x－（－3）52－（－3），即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.归纳升华1．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．2．由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[变式训练]如图，已知A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)．(1)求线段AB中点D的坐标；(2)求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程．解：(1)因为A(1，2)，B(－1，4)，所以线段AB中点D的坐标为1＋（－1）2，2＋42，即D(0，3)，(2)△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5，2)，D(0，3)．所以线段CD所在的直线方程为y－32－3＝x－05－0，化简可得x＋5y－15＝0.类型2直线的截距式方程及应用[典例2]直线l过点P43，2，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，a＋b＋a2＋b2＝12.又因为直线l过点P43，2，所以43a＋2b＝1，解得a1＝4，b1＝3，a2＝125，b2＝92，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，ab＝12，43a＋2b＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，解得a1＝4，b1＝3，a2＝2，b2＝6.所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.归纳升华1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．2．当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[变式训练]求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．解：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.因为点(4，－3)在直线上，所以4a＋－3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，所以直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，所以直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，所以直线的方程为3x＋4y＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.类型3直线一般式方程的应用(巧思妙解)[典例3]已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．[常规解法]由已知，l的方程3x＋4y－12＝0可化为y＝－34x＋3，所以直线l的斜率为－34.(1)由l′与l平行，得直线l′的斜率为－34.又因为l′过点(－1，3)，由点斜式，知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，得直线l′的斜率为43，又因为l′过点(－1，3)，由点斜式，知方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.[巧妙解法](1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式，得m＝－9.所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将点(－1，3)代入上式，得n＝13.所以直线l′的方程为4x－3y＋13＝0.归纳升华1．利用平行与垂直的关系巧设方程．(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件求C1.注意当C＝C1时，两直线重合；当C≠C1时，两直线平行．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出C2.2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[变式训练]已知直线l1：ax－by＋4＝0和直线l2：(a－1)·x＋y＋2＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1和l2垂直；(2)直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为－3.解：(1)由已知得a（a－1）－b＝0，（－3）·a－（－1）·b＋4＝0，解之得a＝2，且b＝2.(2)因为l1在y轴上的截距为－3.所以4b＝－3，则b＝－43.又l1与l2平行，所以a＋b（a－1）＝0，4b≠－2，因此a＝4.所以a＝4，且b＝－43.类型4直线方程的综合应用[典例4]已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，所以l的斜率为a，且过定点A15，35.而点A15，35在第一象限，故l必过第一象限．(2)解：由第一问可知直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.因为l不经过第二象限，所以a≥3.故a的取值范围是[3，＋∞)．归纳升华解决含一个参数的直线方程过定点问题的方法1．将一般式化成点斜式，找出定点．2．分离参数将方程化为f(x，y)a＋g(x，y)＝0的形式，再令f（x，y）＝0，g（x，y）＝0，解方程组．3．利用特殊值法，令参数取两个特殊值得到两个方程，再解方程组．[变式训练]设直线l的方程为(m＋1)x＋y＋2－m＝0(m∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数m的取值范围．解：(1)①当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以m＝2满足条件，此时直线l的方程为3x＋y＝0.②当m＝－1时，直线为平行于x轴的直线，在x轴上无截距，不合题意．当m≠－1且m≠2时，直线在x轴上的截距为m－2m＋1，直线在y轴上的截距为m－2，因此m－2m＋1＝m－2，即m＋1＝1，所以m＝0，此时直线l的方程为x＋y＋2＝0.综上所述，当m＝2或m＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等，方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程转化为y＝－(m＋1)x＋m－2，根据题意，有－（m＋1）0，m－2≤0，或－（m＋1）＝0，m－2≤0，解得m≤－1，所以m的取值范围为(－∞，－1]．1．求直线的两点式方程．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．2．截距式方程应用的注意事项．(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则考虑选用截距式直线方程．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴平行．3．根据两直线的一般式方程判定两直线平行．(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.4．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直．(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.