搜索
第三章直线与方程3．1.2两条直线平行与垂直的判定[学习目标]1.理解两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系(重点)．2.能够通过代数的方法，运用斜率来判定两直线的平行与垂直关系(重点、难点)．3.理解当直线的斜率不存在时，两直线也可以平行或垂直(难点)．[知识提炼·梳理]1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2．温馨提示当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，l1∥l2.2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．温馨提示两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．()(2)若l1∥l2，则k1＝k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．()解析：若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以(1)错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以(2)错；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以(3)错；(4)正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为()A．－3B．3C．－13D.13解析：kAB＝3－03－2＝3，因为直线l∥AB，所以kl＝kAB＝3.答案：B3．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，则过点A且与直线BC垂直的直线经过点()A．(0，1)B．(0，0)C．(－1，0)D．(0，－1)解析：因为kBC＝2－01－（－1）＝1，所以过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为－1.又因为k＝1－00－1＝－1，所以直线过点(0，1)．答案：A4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________．解析：因为k1＝2，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，k2＝－1k1＝－12.答案：－125．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．解析：因为l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，所以kl2＝kl1＝tan45°＝1，即a－（－1）3－（－2）＝1，解得a＝4.答案：4类型1两条直线平行的判定及应用(自主研析)[典例1](1)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)，l1与l2的位置关系是________．(2)判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：①l1经过点A(1，2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，5)；②l1经过点A(－3，2)，B(－3，1)，l2经过点M(－1，－4)，N(－1，5)；③l1经过点A(－1，2)，B(－3，1)，l2经过点M(－1，4)，N(1，5)．(1)解析：由题意知，k1＝tan60°＝3，k2＝－23－3－2－1＝3，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．答案：平行或重合(2)解：①kl1＝1－22－1＝－1，kl2＝5－4－1－3＝－14，kl1≠kl2，所以l1与l2不平行．②直线l1与l2均与x轴垂直，且横坐标不同，所以l1与l2平行．③kl1＝1－2－3－（－1）＝12，kl2＝5－41－（－1）＝12，kl1＝kl2，数形结合知l1与l2平行．归纳升华1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．[变式训练]直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3，0)B．(－3，0)C．(0，－3)D．(0，3)解析：因为l1∥l2，且kl1＝2，所以直线l2的斜率为2.又l2过点(－1，1)，且过点P，设P(0，y)，则y－10＋1＝2，所以y＝3.答案：D类型2两条直线垂直的判定及应用[典例2](1)l1经过点A(3，4)和B(3，6)，l2经过点P(－5，20)和Q(5，20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m，1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值．解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.(2)①当两直线斜率都存在，即m≠－32且m≠1时，有k1＝1－m2m＋3，k2＝m＋2m－1.因为两直线互相垂直，所以1－m2m＋3×m＋2m－1＝－1，所以m＝－1.②当m＝1时，k1＝0，k2不存在，此时亦有两直线垂直．当2m＝－3，m＝－32时，k1不存在，k2＝m＋2m－1＝－32＋2－32－1＝－15，l1与l2不垂直．综上可知实数m＝±1.归纳升华1．(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若斜率不存在，可结合图形判断．(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．2．计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[变式训练](1)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．(2)已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．解析：(1)由kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.(2)设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－15，kCH＝－13，所以y－3x＋6＝5，y－1x－2＝3，解得x＝－19，y＝－62.答案：(1)－1(2)(－19，－62)类型3平行与垂直的综合应用[典例3](1)已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为()A.－97，47B.547，137C.383，133D.387，57(2)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．(1)解析：设点D(x，y)因为AD⊥BC，所以y－2x＋1·3＋21－0＝－1，所以x＋5y－9＝0.因为AB∥CD，所以y＋2x＝3－21＋1，所以x－2y－4＝0.联立x＋5y－9＝0，x－2y－4＝0，解得x＝387，y＝57.答案：D(2)解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝5－32－（－4）＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－（－4）＝－3，kBC＝3－56－2＝－12.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行，又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．归纳升华1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．[变式训练]已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．解：设第四个顶点D的坐标为(x，y)，由题意可知，AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC，所以y－1x－0·y－2x－3＝－1，y－1x－0＝2－03－1.解得x＝2，y＝3，所以第四个顶点的坐标为(2，3)．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．(1)两条不重合直线平行的判定：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．(2)两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0.3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．