搜索
第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)．2.掌握求直线斜率的两种方法(重点、难点)．3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素(难点)．[知识提炼·梳理]1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α180°．(3)倾斜角与直线形状的关系．倾斜角α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°直线温馨提示在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的倾斜角，二者缺一不可．2．直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．常用小写字线k表示，即k＝tanα．倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1．当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．温馨提示直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有直线都有倾斜角和斜率．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．()解析：(1)错误．所有直线都有倾斜角，但是倾斜角为90°的直线，斜率不存在．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α.(4)错误．当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的斜率是()A．1B．－1C．－1或1D．以上都不对解析：依题设，解得k＝－1－0－1－0＝1.答案：A3．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－32B.32C．－1D．1解析：因为tan45°＝kAB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.答案：C4．直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角为________．解析：kl＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°.答案：135°5．在平面直角坐标系中，过点(1，0)且斜率为－1的直线不经过第________象限．解析：画出直线和草图，直线过第一，第二，第四象限，不经过第三象限．答案：三类型1直线的倾斜角(自主研析)[典例1]已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．解析：设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.答案：135°归纳升华1．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．2．结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．[变式训练]直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α≤90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.答案：C类型2直线的斜率及其应用[典例2](1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A.3B．－3C.33D．－33(2)①已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．②求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．(1)解析：因为直线的斜率k与倾斜角α的关系是：k＝tanα，所以当倾斜角为60°时，对应的斜率k＝tan60°＝3.答案：A(2)解：①直线AB的斜率kAB＝1－2－4－3＝17；直线BC的斜率kBC＝－1－10－（－4）＝－24＝－12；直线AC的斜率kAC＝－1－20－3＝33＝1.②当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率kAB＝4－3m－2＝1m－2.归纳升华1．求直线斜率的途径有两个：一是利用斜率公式，二是利用倾斜角．我们必须熟练掌握这两种方式．2．应用两点斜率公式时，两点的横坐标不能相等，否则，直线斜率不存在，造成错解．[变式训练](1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12?(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是60°？解：(1)k＝3m－61－（－m）＝12，解得m＝－2.(2)k＝tan60°＝3＝（2m－1）－2－m－m，解得m＝3（3－1）4.类型3直线的斜率与倾斜角的综合应用(互动探究)[典例3]已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．解：如图所示：直线AP的斜率kAP＝2－（－3）－1＋2＝5，直线BP的斜率kBP＝2－0－1－3＝－12，直线l绕着P点从PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率的取值范围是[5，＋∞)．直线l绕着P点从PC旋转到PB时，它的斜率的取值范围是－∞，－12.所以直线l的斜率的取值范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．[迁移探究1]已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．解：如图所示．当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC.由已知得，kAB＝2－3－4－3＝17，kAC＝3＋23－0＝53，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.[迁移探究2](变换条件，改变问法)若将典例3中条件改为“已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3”，求yx的最大值和最小值．解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)．由于yx的几何意义是直线OP斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以可求得yx的最大值为2，最小值为23.归纳升华1．数形结合是解决数学问题常用的思想方法，求解直线斜率问题也常用数形结合的方法.当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．2．处理代数式y－y0x－x0的最大(小)值问题时，一般利用斜率的意义，将其转化为几何问题求解，即将y－y0x－x0看成是动点P(x，y)与点P0(x0，y0)连线的斜率．1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．2．直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0k＞0不存在k＜03.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝y2－y1x2－x1应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.