2019秋高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 第2课时 线性回归分析

第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用第2课时线性回归分析[学习目标]1.了解残差平方和、相关指数R2的概念(重点)．2.了解回归分析的基本步骤(难点)3.会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判(重点)4.了解简单的非线性回归分析方法(难点)．1．残差对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n，其估计值为ei＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，e^i称为相应于点(xi，yi)的残差．2．残差图及相关指数(1)残差图：我们可以利用图形来分析残差特征，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量或预报变量等，这样作出的图形称为残差图.(2)相关指数：计算公式是R2＝___________．其中残R2越大说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．温馨提示相关指数的计算公式中，分子是残差平方和，分母是总偏差平方和，计算时不要弄错，同时要清楚R2的大小与拟合效果的关系．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以作为样本编号．()(2)在残差图中，残差点分布的带形区域越窄，则拟合效果越好．()(3)残差平方和越大，则R2越小，模型拟合效果越差．()解析：根据残差分析的概念知，这三个说法都是正确的．答案：(1)√(2)√(3)√2．下列数据符合的函数模型为()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y＝2＋13xB．y＝2exC．y＝2e1xD．y＝2＋lnx解析：分别将x值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.答案：D3．为研究两个变量之间的关系，选择了4个不同的模型进行拟合，计算得它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．相关指数R2为0.96B．相关指数R2为0.75C．相关指数R2为0.52D．相关指数R2为0.34解析：相关指数R2越大、越趋近于1，拟合效果越好．答案：A4.若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R2为________.解析：由R2＝1－残差平方和总偏差平方和得R2＝1－6080＝0.25.答案：0.255．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z^＝lny，求得回归直线方程为z^＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为__________________．解析：因为z^＝0.25x－2.58，z^＝lny，所以y＝e0.25x－2.58.答案：y＝e0.25x－2.58类型1线性回归分析(自主研析)[典例1]为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图，并求线性回归方程；(2)求相关指数R2，并判断模型的拟合效果；(3)进行残差分析．解：(1)散点图如图所示：—x＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，—y＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，所以R2＝1－0.0131814.6784≈0.9991，所以回归模型的拟合效果较好．(3)由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型．[迁移探究1]在典例1条件不变的情况下，画出残差图．解：如图所示．[迁移探究2]在典例1的条件下，当x＝35时，估计y的值．解：当x＝35时，y＝6.285＋0.183×35＝12.69.归纳升华解决线性回归分析问题的一般方法和步骤1．作散点图，或计算相关系数，判断两个变量之间的线性相关关系．2．列表计算，求线性回归方程．3．计算相关指数R2，或进行残差分析，作残差图，判断模型拟合效果．4．做出预报．类型2非线性回归分析[典例2]菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x12345y5854392910(1)令ω＝x2，利用给出的参考数据求出y关于ω的回归方程y^＝b^ω＋a^(a^，b^精确到0.1)．参考数据：ωi＝55，（ωi－ω—）（yi－y）＝－751，(ωi－ω—)2＝374，其中ωi＝x2i，ω—＝15i＝15ωi.(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.24)解：(1)由题意得，ω—＝11，y＝38.b^＝－751374≈－2.0，a^＝y—－b^ω—＝60.0，所以y^＝－2.0ω＋60.0.(2)由(1)得，y^＝－2.0ω＋60.0，所以y^＝－2.0x2＋60.0，当y^≤20时，即－2.0x2＋60.0≤20，解得x≥25≈4.5，所以为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜．归纳升华1.非线性回归方程的求法：(1)根据原始数据(x，y)作出散点图；(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数；(3)做恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；(4)在(3)的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程．2．非线性相关问题常见的几种线性变换：(1)y＝aebx，令y′＝lny，x′＝x，a′＝lna，则有y′＝a′＋bx′；(2)y＝a＋blnx，令y′＝y，x′＝lnx，则有y′＝a＋bx′；(3)y＝bx2＋a，令y′＝y，x′＝x2，则有y′＝bx′＋a.[变式训练]以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，求c的值．解：因为y＝cekx，所以两边取对数，可得lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，令z＝lny，可得z＝lnc＋kx，因为z＝0.3x＋4，所以lnc＝4，所以c＝e4.类型3弄不清回归模型的类型致误(误区警示)[典例3]在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表所示：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．易错提示：本题易犯的错误是直接使用最小二乘法求出线性回归直线方程，实际上，本题中的数据在散点图上并不在某条直线附近，因此不能用线性回归模型求解．[规范解答]由数值表可作散点图如图所示：根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝kx，令t＝1x，则y＝kt，原数据变为：防范措施：只有当两变量间呈线性相关关系时，才可以求回归系数，得到回归直线方程y^＝b^x＋a^.若两变量间的关系不是线性相关关系，应观察分析其散点图，找出拟合函数，通过变量代换再作线性回归．由置换后的数值表作散点如图所示：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：t4210.50.25y1612521itiyitiyit2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430所以—t＝1.55，—y＝7.2.[类题尝试]在一项调查中有两个变量x(单位：千元)和y(单位：t)，下图是根据这两个变量近8年来的数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bxB．y＝c＋dxC．y＝m＋nx2D．y＝p＋qcx(q0)解析：散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除C，D选项．答案：B1．线性回归分析中拟合效果的评判问题：(1)求出线性回归模型(即线性回归直线方程)、残差平方和越小，拟合效果越好；②R2越大(越接近于1)，拟合效果越好．(2)对于同一个问题可以有n个不同的拟合模型，要分别求出各个模型的线性回归直线方程、残差平方和、相关指数，残差平方和小的拟合效果好，相关指数大的，拟合效果好．2．非线性回归分析中的问题：(1)根据实验数据，画出散点图，从中观察其变化规律，并与已知函数的图象对比，看接近于什么函数，根据实践经验来决定选取公式的类型，所选的类型是否符合实际，还需要通过实践来检验．有时候还需要选择不同的模拟函数作比较．(2)如果观察散点图，发现点的分布不呈条状分布，而是与某种曲线相近，这时可选择这条曲线对应的函数作为拟合函数，作恰当变换，转化为线性函数，用线性回归模型求解．常见的非线性回归模型：①反比例函数y＝a＋bx可作变换t＝1x，得y＝a＋bt.②幂函数型y＝axb(a＞0)可作变换Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，则有Y＝m＋bt.③指数型函数y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)，可作变换Y＝lny，m＝lnk，则有Y＝m＋(blna)x.