搜索
第三章数系的扩充与复数的引入3．2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义[学习目标]1.掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并进行计算(重点)．2.了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义(难点)．1．复数的加法、减法运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．(2)加法运算律交换律z1＋z2＝z2＋z1结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)温馨提示注意在进行复数的加减运算时，是实部与实部、虚部与虚部相加减，不能混淆．2.复数加减法的几何意义如图所示：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是______，与z1－z2对应的向量是_______．OZ→Z2Z1→温馨提示向量Z1Z2→对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)复数与向量一一对应．()(2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．()(3)若复数z1，z2满足z1－z20，则z1z2.()解析：(1)错，正确说法是：复数z＝a＋bi与平面向量OZ→＝(a，b)一一对应．(2)错，复数的减法满足结合律．(3)错，如z1＝2＋2i，z2＝1＋2i，有z1－z2＝10，但复数z1与z2不能比较大小．答案：(1)×(2)×(3)×2．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为()A．－4＋20iB．－2＋10iC．－8＋20iD．－2＋20i解析：因为z＋5－6i＝3＋4i，所以z＝(3＋4i)－(5－6i)＝－2＋10i.答案：B3．复数i＋i2在复平面内表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．答案：B4．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则BC→表示的复数为()A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2i解析：BC→＝OC→－OB→＝OC→－(AB→＋OA→)＝3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i.所以BC→表示的复数为4－4i.答案：C5．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________．解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.答案：－1类型1复数的加减运算(自主研析)[典例1]设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解析：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以3＋x＝5，2－y＝－6，所以x＝2，y＝8.所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.归纳升华1．复数代数形式的加、减法运算，实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此应准确地提取复数的实部与虚部．2．作复数的加减运算时，可以把“i”看作一个字母，类比多项式的加减中的合并同类项，若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．[变式训练](1)计算(3－2i)＋(－4i＋5)－(6－3i)；(2)若(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝2＋i，求实数a，b.解：(1)原式＝(3＋5－6)＋[－2＋(－4)－(－3)]i＝2－3i.(2)因为(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i，则－a＋(4b－3)i＝2＋i，所以－a＝2，4b－3＝1.所以a＝－2，b＝1.类型2复数加减法的几何意义(互动探究)[典例2]如图所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)AO→所表示的复数，BC→所表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数．解：(1)AO→＝－OA→，所以AO→所表示的复数为－3－2i.因为BC→＝AO→，所以BC→所表示的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→.所以CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.[迁移探究1](改变问法)若典例2中条件不变，试求点B所对应的复数．解：因为OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.故B点对应的复数为1＋6i.[迁移探究2](改变问法)若典例2中条件不变，求对角线AC，BD的交点M对应的复数，并求该复数的模．解：由题意知，点M为OB的中点，则OM→＝12OB→，由探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为12，3，所以点M对应的复数为12＋3i，且zM＝12＋3i＝372.归纳升华1．根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的问题，将复数向点及向量加以转化可有助于问题的解决．类型3复数加减法的综合问题[典例❸]已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，所以a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1，②由①②得2ac＋2bd＝1，所以|z1＋z2|＝（a＋c）2＋（b＋d）2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，所以△OAB是边长为1的正三角形，又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，所以四边形OACB是一个边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，所以|z1＋z2|＝|OC→|＝|OA→|2＋|AC→|2－2|OA→||AC→|cos120°＝3.归纳升华1．解决复数问题时，设出复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，列出方程，将复数问题实数化．2．利用复数加减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简捷地解决复数问题．3．掌握以下常用结论．在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则：(1)四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[变式训练]已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝12＋32i，求复数z1，z2，及|z1－z2|.解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.因为|z1|＝1，|z2|＝1，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.因为z1＋z2＝12＋32i，所以a＋c＝12，b＋d＝32.解得a＝1，b＝0，c＝－12，d＝32或a＝－12，b＝32，c＝1，d＝0，所以z1＝1，z2＝－12＋32i或z1＝－12＋32i，z2＝1.所以|z1－z2|＝32－32i＝3，或|z1－z2|＝－32＋32i＝3.1．对复数加减法的理解：(1)把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式，则复数的加减运算类似于多项式的加法、减法运算，只需“合并同类项”即可．(2)两个复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法运算可以推广到多个复数相加减的情形.(3)两个复数的和差是复数，但是两个虚数的和差不一定是虚数．2．运用复数加减法运算的几何意义应注意：(1)向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．(2)利用加法的“首尾相接”和“指向被减数”的特点，在三角形内求得第三个向量及其对应的复数．