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第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的相关概念[学习目标]1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用(重点).2.理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示(难点).3.理解复数相等的充要条件(重点、难点)．1．复数的概念及代数表示(1)复数的定义．把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集．全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋bi|a，b∈R}．温馨提示规定i2＝－1，不能写成－1＝i；i是一个实部为0虚部为1的复数．2．复数相等的充要条件在复数集C中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．温馨提示当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．3．复数的分类(1)z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z为实数．(2)当b≠0时，z＝a＋bi为虚数；若a＝0时，z为纯虚数．(3)集合表示1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零，则这两个复数相等．()(3)若ab＝0，则z＝a＋bi为纯虚数．()解析：(1)错，当b＝0时，z＝a＋bi为实数．(2)对，此时，这两个复数的实部和虚部分别相等．(3)错，当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi为纯虚数，当b＝0时，z＝a＋bi为实数．答案：(1)×(2)√(3)×2．设A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝{复数}，那么下面结论正确的是()A．A∪B＝UB．∁UA＝BC．A∩(∁UB)＝∅D．B∪(∁UB)＝U解析：根据复数的概念与分类A，B，C不正确，只有B∪(∁UB)＝U成立．答案：D3．以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－2＋2iD.2＋2i解析：3i－2的虚部为3，－3＋2i的实部为－3，则所求复数为3－3i.答案：A4．复数z＝(x2－1)＋(x－1)i(x∈R)为纯虚数，则x＝________．解析：z为纯虚数，则x－1≠0且x2－1＝0，解得x＝－1.答案：－15．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________．解析：由x，y∈R，且(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i.所以2x－y＝2，x－y＝3.解之得x＝－1，y＝－4.答案：－1，－4类型1复数的基本概念(自主研析)[典例1]给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等．④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i(a，b∈R)的实部和虚部分别是2和3，则实数a＋b＝________．解析：(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－10，所以①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．③复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③不正确．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，④为假命题．因此四个命题都是假命题．(2)依题意，a2＝2，－（2－b）＝3.所以b＝5，且a＝±2.因此a＋b＝5±2.答案：(1)A(2)5±2归纳升华判断与复数有关的命题是否正确的方法1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为“a＋bi”的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．特别注意复数的虚部是b而不是bi.[变式训练]下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0B．1C．2D．3解析：①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．答案：A类型2复数的分类(互动探究)[典例2]当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i.是实数、虚数？解：(1)当m2－2m＝0，m≠0，所以当m＝2时，复数z是实数．(2)当m2－2m≠0，且m≠0，则m≠0且m≠2时，复数z是虚数．[迁移探究1](改变问法)典例2条件不变，当m为何值时z为纯虚数？解：若z为纯虚数则m2＋m－6m＝0，m2－2m≠0.解之得m＝－3.∴当m＝－3时，z是纯虚数．[迁移探究2]若将[典例❷]中的复数z变为z＝lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i(m∈R)当m为何值时：(1)z是纯虚数；(2)z是实数．解：(1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则lg（m2－2m－7）＝0，m2＋5m＋6≠0，解得m＝4.(2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，则m2－2m－7＞0，m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2或m＝－3.归纳升华1．解决复数分类问题，首先将复数化为标准形式z＝a＋bi(a，b∈R)，以确定复数的实部和虚部．2．由复数分类，依据虚部和实部满足的条件，由此列出方程(组)，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏．类型3复数相等的条件及应用[典例❸](1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．(2)关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．解：(1)因为x2－y2＋2xyi＝2i，所以x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，所以3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.归纳升华1．应用两个复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两侧的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后确定两个独立参数列出方程，化复数问题为实数问题得以解决．2．求解复数的有关问题，务必注意字母参数的取值范围和条件．[变式训练]关于x的方程3x－a2－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值．解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m－a2－1＝(10－m)i，所以3m－a2－1＝0，10－m＝0，解得a＝58.1．复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．2．利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．3．两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．利用复数相等条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解，体现了转化化归思想．