2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4

第三章三角恒等变换3．2简单的三角恒等变换[学习目标]1.体会二倍角公式的变形，能由二倍角公式得出半角公式(难点)．2.体会利用和角、差角公式进行变形的方法、技巧，并能运用换元法和方程的思想进行三角变换(重点)．3.进一步熟悉asinx＋bcosx的变形及性质，并能应用于三角函数式的化简、求值等问题中(重点)．[知识提炼·梳理]1．半角公式温馨提示对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式适用于任意角．()(2)半角公式与倍角公式的实质是一样的．()(3)cosα2＝1＋cosα2.()(4)若α是第一角限角，则tanα2＝1－cosα1＋cosα.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．若cosα＝23，α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.66B．－66C.306D．－306解析：由题意知α2∈0，π2，所以cosα2＞0，cosα2＝1＋cosα2＝306.答案：C3．已知cosα＝35，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A.55B．－55C.45D.255解析：由题知α2∈3π4，π，所以sinα20，sinα2＝1－cosα2＝55.答案：A4.函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．解析：因为f(x)＝525cosx＋15sinx＝5sin(x＋φ)(其中tanφ＝2)，所以f(x)max＝5.答案：55．已知cosθ＝－35，且180°＜θ＜270°，则tanθ2＝________．解析：因为180°＜θ＜270°，所以90°＜θ2＜135°，即θ2是第二象限角，所以tanθ2＜θ.所以tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.答案：－2类型1三角函数式的化简与求值[典例1](1)已知sinα＝55，cosα＝255，则tanα2等于()A．2－5B．2＋5C.5－2D．±(5－2)(2)2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析：(1)因为sinα＝55＞0，cosα＝255＞0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tanα2＞0，故tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1－2551＋255＝5－2.(2)原式＝4cos24＋21－2sin4cos4＝2|cos4|＋2（sin4－cos4）2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.因为5π4＜4＜3π2，所以cos4＜0，sin4＜cos4＜0，所以sin4－cos4＜0.从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.答案：(1)C(2)－2sin4归纳升华对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代替、角度归一等方法．[变式训练]已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．解：因为π＜α＜3π2，sinα＝－45，所以cosα＝－35，且π2＜α2＜3π4，所以sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.类型2三角恒等式的证明[典例2]求证：1＋sinθ－cosθ1＋sinθ＋cosθ＋1＋sinθ＋cosθ1＋sinθ－cosθ＝2sinθ.证明：法一左边＝2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin2θ2＋2sinθ2cosθ2＝sinθ2cosθ2＋cosθ2sinθ2＝1cosθ2sinθ2＝2sinθ＝右边．所以原式成立．法二左边＝（1＋sinθ－cosθ）2＋（1＋sinθ＋cosθ）2（1＋sinθ＋cosθ）（1＋sinθ－cosθ）＝2（1＋sinθ）2＋2cos2θ（1＋sinθ）2－cos2θ＝4＋4sinθ2sinθ＋2sin2θ＝2sinθ＝右边．所以原式成立．归纳升华三角恒等式证明的常用方法1．执因索果法：证明的形式一般化繁为简．2．左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．3．比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以判定原等式成立．[变式训练]求证：(1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；(2)tanα＋tanβtanα－tanβ＝sin（α＋β）sin（α－β）.证明：(1)左边＝sinθ·2cos2θ＝(2sinθcosθ)·cosθ＝sin2θcosθ＝右边．所以原等式成立．(2)右边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ，分子，分母同除以cosαcosβ，得右边＝tanα＋tanβtanα－tanβ＝左边．所以原等式成立．类型3关于三角函数性质的综合问题(规范解答)[典例3](本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．审题指导：先利用两角和的正弦公式，再利用倍角公式“降次”，进而利用辅助角公式，化为一个角的一种三角函数的形式求解．[正确解答](1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2(4分)失分警示：若求错此式，扣4分．因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(6分)(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.(7分)失分警示：若忽视对2x＋π4范围的判断，扣1分．当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8，f(x)单调递增；(9分)当π2＜2x＋π4≤5π4，即π8＜x≤π2时，f(x)单调递减．(11分)综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．(12分)归纳升华研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质．[类题尝试]已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.类型4三角恒等变换的实际应用[典例4]如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．解：如图所示，连接AP，设∠PAB＝θ0≤θ≤π2，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.所以PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)＋8100sinθcosθ.令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤2)，则sinθcosθ＝t2－12，所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·t2－12＝81002t－1092＋950.故当t＝109时，S矩形PQCR有最小值950m2；当t＝2时，S矩形PQCR有最大值(14050－90002)m2.归纳升华1．解答利用三角恒等变换求最值的应用题，关键是合理引入辅助角θ，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角θ)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．[变式训练]如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsinα＋π4＋R.因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π4.所以l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB的周长最大．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.3．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx±3cosx＝2sinx±π3等.