2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必

第三章三角恒等变换3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标]1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)．2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．[知识提炼·梳理]倍角公式三角函数公式简记二倍角的正弦sin2α＝2sinαcosαS2α二倍角的余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α二倍角的正切tan2α＝2tanα1－tan2αT2α[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()答案：(1)×(2)√(3)×2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32C.54D．1＋34解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°·cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.答案：C3．已知sin2α＝14，则sin2α＋π4＝()A.34B.38C.58D.23解析：由题意可得，sin2α＋π4＝1－cos2×α＋π42＝1＋sin2α2＝58.答案：C4.已知sinx＝14，则cos2x的值为________．解析：cos2x＝1－2sin2x＝1－2×142＝1－18＝78.答案：785.3tanπ81－tan2π8＝________．解析：原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan2×π8＝32tanπ4＝32.答案：32类型1化简与求值[典例1]已知sinα＝513，α∈π2，π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：因为sinα＝513，α∈π2，π，所以cosα＝1－sin2α＝－1－5132＝－1213，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×513×－1213＝－120169，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×5132＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝－120119.归纳升华应用二倍角公式化简与求值的方法1．化简与求值时应关注“角”“函数名”“幂”“形”四个方向，分别从这四个方向着手分析，消除差异．2．公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.[变式训练]利用倍角公式求下列各式的值：(1)sinπ8cosπ8；(2)cos2π6－sin2π6；(3)2cos2π12－1；(4)2tan15°1－tan215°.解：(1)sinπ8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos2×π6＝cosπ3＝12.(2)2cos2π12－1＝cos2×π12＝cosπ6＝32.(4)2tan15°1－tan215°＝tan30°＝33.类型2条件求值[典例2]已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：因为tanα＝130，且α∈(0，π)，所以α∈0，π2，2α∈(0，π)，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，所以2α∈0，π2.因为tanβ＝－170，且β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34－－171＋34×－17＝1.归纳升华1．给值求值问题求解的要点是利用公式建立已知式子和所求式子之间的联系．2．注意从角、函数名称、幂、形式等几个方面着手寻求解题思路．[变式训练](1)(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45(2)(2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725解析：(1)因为cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ，又因为tanθ＝－13，所以cos2θ＝1－191＋19＝45.(2)因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2(π4－α)－1＝2×925－1＝－725.答案：(1)D(2)D类型3化简与证明[典例3]求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A·cos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.证明：(1)左边＝1＋cos（2A＋2B）2－1－cos（2A－2B）2＝cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，所以原式成立．(2)法一左边＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．所以原式成立．归纳升华三角函数式的化简与证明1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出；(2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；(2)比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．[变式训练]化简sin2x2cosx1＋tanxtanx2＝________．解析：sin2x2cosx1＋tanxtanx2＝sin2x2cosx·tanx－tanx2tanx－x2＝sin2x2cosx·sinxcosx－sinx2cosx2tanx2＝sin2x2cosx·sinxcosx2－sinx2cosxcosxcosx2tanx2＝2sinxcosx2cosx·sinx2cosxcosx2tanx2＝sinxcosx＝tanx.答案：tanx1．公式的应用条件．(1)公式S2α，C2α中的α∈R.(2)公式T2α中的2α≠kπ＋π2，α≠kπ±π4，k∈Z.2．“二倍”的含义．倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．3．倍角公式的常见变形．1±sin2α＝(sinα±cosα)2；cosα＝sin2α2sinα(α≠kπ，k∈Z)；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.4．二倍角公式的正用与逆用．注意二倍角公式的正用与逆用，其中，二倍角公式的逆用往往用来降幂转化．便于求值或解决与三角函数性质有关的问题.