2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A

第三章三角恒等变换3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式[学习目标]1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系(难点)．2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换(重点)．[知识提炼·梳理]1．两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式名称公式两角和的余弦cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ两角和的正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ两角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ2.两角和与差的正切公式名称公式使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)温馨提示要灵活运用公式，不但会正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，这里关键是角的变换．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R时，sin(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()(3)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()答案：(1)×(2)×(3)√2．sin165°等于()A.12B.32C.6＋24D.6－24解析：sin165°＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.答案：D3.cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A.12B．－12C．0D．1解析：cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.答案：C4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________．解析：原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.答案：05．tan105°＝________．解析：因为105°＝60°＋45°，所以tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－2－3.答案：－2－3类型1给角求值[典例1](1)求值：①cos75°＝________；②cos15°cos105°－sin15°sin105°＝________．(2)求值：①tan105°＝________；②tan74°＋tan76°1－tan74°tan76°＝________；③3－tan15°1＋3tan15°＝________．(1)解析：①cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.②原式＝cos(15°＋105°)＝cos120°＝－12.(2)①法一tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－2－3.法二tan105°＝tan(150°－45°)＝tan150°－tan45°1＋tan150°tan45°＝－33－11－33×1＝－3＋33－3＝－（3＋3）2（3－3）（3＋3）＝－12＋636＝－2－3.②原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－33.③原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.答案：(1)①6－24②－12(2)①－2－3②－33③1归纳升华1．对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．2．一般途径：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，并注意“1”与“tanπ4”、“3”与“tanπ3”、“12”与“cosπ3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[变式训练](1)sin15°＋sin75°的值是________；(2)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________．解析：(1)sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2(22sin15°＋22cos15°)＝2(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝2sin60°＝2×32＝62.(2)原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3.答案：(1)62(2)3类型2给值求值[典例2]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cosπ4＋α＝－35，sin34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：因为π4＜α＜34π，所以π2＜π4＋α＜π.所以sinπ4＋α＝1－cos2π4＋α＝45.又因为0＜β＜π4，34π＜34π＋β＜π，所以cos34π＋β＝－1－sin234π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－sinπ4＋αcos34π＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β＝－45×－1213＋－35×513＝6365.归纳升华1．在解决给值求值题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．2．当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．[变式训练]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69解析：cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋α·sinπ4－β2.因为0＜α＜π2，则π4＜π4＋α＜3π4，所以sinπ4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，则sinπ4－β2＝63.故cosα＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案：C类型3给值求角(互动探究)[典例3]已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求角β的值．解：因为0＜α＜π2，cosα＝17，所以sinα＝437.又因为0＜β＜π2，所以0＜α＋β＜π.因为sin(α＋β)＝5314＜sinα，所以α＋β∈π2，π，则cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为0＜β＜π2，所以β＝π3.[迁移探究](变换条件)若把典例3中的“0＜β＜π2”改为“π2＜β＜π”，求角β的值．解：因为0＜α＜π2，cosα＝17，所以sinα＝437.又因为π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2.因为sin(α＋β)＝5314，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为π2＜β＜π，所以β＝2π3.归纳升华1．解答给值求角问题的关键是找出已知角和所求角之间的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围．2．给值求角问题的解题步骤：(1)讨论角的范围；(2)求出指定范围内的三角函数值；(3)根据已知角与未知角的关系拆分角，进一步利用公式求解．类型4三角函数式asinx＋bcosx的变换[典例4]化简：(1)32cosx＋12sinx；(2)2(sinx－cosx)；(3)cosx－3sinx.解：(1)原式＝sinπ3cosx＋cosπ3sinx＝sinπ3＋x.(2)原式＝222sinx－22cosx＝2cosπ4sinx－sinπ4cosx＝2sinx－π4.(3)原式＝212cosx－32sinx＝2cosπ3cosx－sinπ3sinx＝2cosx＋π3.归纳升华辅助角公式及其运用1．公式形式：公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)[或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ)]将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．2．形式选择：化为正弦还是余弦，要视具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[变式训练]化简：(1)12sin15°－32cos15°＝______；(2)sinα＋3cosα＝________．解析：(1)原式＝sin15°cos60°－cos15°sin60°＝sin(15°－60°)＝－sin45°＝－22.(2)原式＝212sinα＋32cosα＝2sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝2sinα＋π3.答案：(1)－22(2)2sinα＋π31．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin3π2－α＝sin3π2·cosα－cos3π2sinα＝－cosα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.