2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教A版必修4

第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式[学习目标]1.探索两角差的余弦公式，会利用向量的数量积推导两角差的余弦公式(难点)．2.掌握公式的正用、逆用、变形运用，能进行简单的恒等变换(重点、难点)．[知识提炼·梳理]两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()答案：(1)×(2)√(3)√2．cos65°cos35°＋sin65°sin35°()A．cos100°B．sin100°C.32D.12解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos(65°－35°)＝cos30°＝32.答案：C3．cos(－15°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24解析：cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°·sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.答案：D4．已知cosα＝15，α∈0，π2，则cosα－π3＝________．解析：因为cosα＝15，α∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝1－152＝265.所以cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝15×12＋265×32＝1＋6210.答案：1＋62105．cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ＝________．解析：cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ＝cos[(π4＋θ)－θ]＝cosπ4＝22.答案：22类型1给角求值[典例1]求值：(1)cos15°；(2)cos75°cos15°＋sin75°sin15°；(3)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．解：(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°·sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.(3)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.归纳升华两角差的余弦公式常见题型解法1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．2．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．3．求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．[变式训练](1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)·sin(α＋25°)的值为()A.2B.22C.12D.32(2)sin80°cos55°＋cos80°cos35°＝________．解析：(1)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.答案：(1)C(2)22类型2给值求值(互动探究)[典例2]已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．解：因为α，β∈0，π2，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sinα＝45，所以cosα＝35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×35＋6365×45＝204325.[迁移探究1](变换条件)若把典例2中的“α，β∈0，π2”改为“α，β∈π2，π”，求cosβ的值．解：因为α，β∈π2，π，所以π＜α＋β＜2π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝－6365，又sinα＝45，所以cosα＝－35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×－35＋－6365×45＝－204325.[迁移探究2](变换条件)若把典例2的条件改为“sinβ＋π4＝－45，且5π4＜β＜7π4”，求cosβ的值．解：因为5π4＜β＜7π4，所以3π2＜β＋π4＜2π，所以cosβ＋π4＝1－sin2β＋π4＝1－－452＝35，所以cosβ＝cosβ＋π4－π4＝cosβ＋π4cosπ4＋sinβ＋π4sinπ4＝35×22＋－45×22＝－210.归纳升华给值求值问题的解题策略1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．2．常见角的变换：(1)α＝(α－β)＋β；(2)α＝α＋β2＋α－β2；(3)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(4)2β＝(α＋β)－(α－β)．类型3给值求角[典例3]已知α、β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．解：因为α、β均为锐角，所以sinα＝55，sinβ＝31010.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinα＜sinβ，所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0.故α－β＝－π4.归纳升华已知三角函数值求角的解题步骤1．界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．2．求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．3．结合三角函数值及角的范围求角．[变式训练]已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，所以cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)＝1213×－1213＋－513×513＝－1.又因为α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，所以2β∈π2，3π2，所以2β＝π，故β＝π2.1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ记为C(α－β)．(1)公式cos(α－β)的本质是用单角α和β的三角函数表示角(α－β)的余弦．(2)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(3)公式的适用条件：α、β可以是任意实数．2．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．3．给值求角问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．