2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课课件 新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．几种空间向量之间的区别与联系(1)a与其相反向量－a为共线向量(平行向量)．(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量．(3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解．2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1)a·b＝0a＝0或b＝0.(2)a·c＝a·b≠c＝b.(3)(a·b)·c≠a·(b·c)(4)a·b＝ka＝kb或b＝ka.3．向量共线充要条件及注意点(1)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)注意点：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta.(3)坐标表示下的向量平行条件．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，这一形式不能等价于a1b1＝a2b2＝a3b3，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．4．向量共面充要条件及注意点(1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(2)注意点：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→；②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，则点P与点A，B，C共面．5．利用向量法求空间角的注意事项(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC的内角∠BAC＝θ，则BA→与AC→夹角为π－θ，而非θ.(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况来看．(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．空间向量的运算是其应用的前提和基础，两个向量的数量积是应用的重点，空间向量运算的坐标表示是立体几何中的证明、计算转化成代数问题的唯一通道，尤其是立体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题，从而得到简单的解答．[典例1](1)如图，平行六面体A1B1C1D1­ABCD中，M分AC→成的比为12，N分A1D→成的比为2，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示MN→.(2)已知a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)．①若c＝(m，2，n)且a∥c，求c；②若p＝(1，x，y)且a⊥p，b⊥p，求p.解：(1)连接AN(图略)，则MN→＝MA→＋AN→，由已知四边形ABCD是平行四边形，故AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)．由已知，N分A1D→成的比为2，故AN→＝AD→＋DN→＝AD→－ND→＝AD→－13A1D→＝13(c＋2b)，于是MN→＝MA→＋AN→＝－13(a＋b)＋13(c＋2b)＝13(－a＋b＋c)．(2)①因为a∥c，所以设c＝λa.所以(m，2，n)＝λ(2，－3，5)，所以m＝－43，n＝－103，所以c＝－43，2，－103.②因为a⊥p，b⊥p，所以a·p＝0，b·p＝0，所以2－3x＋5y＝0，－3＋x－4y＝0，解得x＝－1，y＝－1，所以p＝(1，－1，－1)．[变式训练](1)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，Q分别是BB1，BC1的中点，点P在线段C1M上，且C1P→＝xC1M→，①用向量AB→，AC→，AA1→表示向量AQ→；②用向量AB→，AC→，AA1→表示向量AP→；③若AP与平面A1BC交于点N，AN→＝yAP→，求出y关于x的函数关系式．(2)已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若向量AB→∥a且|AB→|＝2|a|，则B点的坐标为()A．(－5，6，24)B．(－5，6，24)或(7，－10，－24)C．(－5，16，－24)D．(－5，16，－24)或(7，－16，24)(1)解：①因为AA1→＋AC→＝AC1→，AQ→＝12(AB→＋AC1→)，所以AQ→＝12(AC→＋AB→＋AA1→)．②因为C1P→＝xC1M→，又C1M→＝C1B1→＋B1M→＝CB→－12AA1→＝AB→－AC→－12AA1→，所以AP→＝AC1→＋C1P→＝AA1→＋AC→＋xC1M→＝AA1→＋AC→＋xAB→－AC→－12AA1→＝1－12xAA1→＋(1－x)AC→＋xAB→.③由空间向量的基本定理可设AN→＝kAB→＋mAA1→＋nAC→，因为A1，B，C，N四点共面，所以k＋m＋n＝1.因为AN→＝yAP→，所以y1－12xAA1→＋（1－x）AC→＋xAB→＝kAB→＋mAA1＋nAC→，所以y1－12x＝m，y（1－x）＝n，yx＝k，利用k＋m＋n＝1，可得yx＋y(1－x)＋y1－12x＝1，化为y＝24－x(0≤x≤1)，即为所求的关系式．(2)解析：因为AB→∥a，a＝(－3，4，12)，所以设AB→＝λa，因为|AB→|＝2|a|，所以|λ||a|＝2|a|，故|λ|＝2，所以AB→＝2a＝(－6，8，24)或AB→＝－2a＝(6，－8，－24)．所以OB→＝OA→＋AB→＝(1，－2，0)＋(－6，8，24)＝(－5，6，24)或OB→＝OA→＋AB→＝(1，－2，0)＋(6，－8，－24)＝(7，－10，－24)，所以B点的坐标为(－5，6，24)或(7，－10，－24)．答案：B题型二空间向量与空间位置关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；(2)线面平行(l⊄α)：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；(4)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；(5)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；(6)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.[典例2]如图所示，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C112BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明：因为二面角A1­AB­C是直二面角，所以平面A1ABB1⊥平面ABC.又因为AB＝AC，BC＝2AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB.所以AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)．(1)A1B1→＝(0，2，0)，A1A→＝(0，0，－2)，AC→＝(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·A1A→＝0，n·AC→＝0，即－2z＝0，2x＝0，即x＝0，z＝0.取y＝1，则n＝(0，1，0)．所以A1B1→＝2n，即A1B1→∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1→＝(0，2，2)，A1C1→＝(1，1，0)，A1C→＝(2，0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则m·A1C1→＝0，m·A1C→＝0，即x1＋y1＝0，2x1－2z1＝0，令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1)．所以AB1→·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB1→⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.[变式训练]如图，在四棱锥P­AB-CD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O­xyz，由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·PC→＝0，即－y－z＝0，2x－z＝0，令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2，2)．又PB→＝(1，1，－1)，所以cos〈n，PB→〉＝n·PB→|n||PB→|＝－33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得AM→＝λAP→.因此点M(0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ)．因为BM⊄平面PCD，所以BM∥平面PCD，当且仅当BM→·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.题型三空间向量与空间角几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角时，都需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，即可求解，体现了向量法极大的优越性．(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角．(3)利用空间向量求二面角也可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．[典例3]如图所示，在四棱锥A­EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F­AE­B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．解：(1)证明：因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFGB＝EF，所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB，又OG⊂平面EFCB，所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O­xyz，则E(a，0，0)，A(0，0，3a)，B(2，3(2－a)，0)，EA→＝(－a，0，3a)，BE→＝(a－2，3(a－2)，0)．设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·EA→＝0，n·BE→＝0，即－ax＋3az＝0，（a