2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选

第三章空间向量与立体几何3．1.5空间向量运算的坐标表示[学习目标]1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两向量共线或垂直(重点)．2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，能运用这些知识解决相关问题(难点、易错点)．[知识提炼·梳理]1．空间向量的坐标运算．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.温馨提示1．空间向量坐标的本质：a＝(x，y，z)的本质是a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)是单位正交基底．2．对空间两向量夹角与距离的四点说明：(1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此钝角互补的锐角．(2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向量的夹角余弦值都是cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，只是坐标运算时空间向量多了一个竖坐标．(3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个竖坐标．(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB→(空间任意两点)的坐标表示，然后再用长度公式推出A、B两点间的距离．3．a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，这一形式不能等价于a1b1＝a2b2＝a3b3，只有在b与三个坐标平面均不平行时才能这样写，比如，当b与坐标平面xOy平行时，b3＝0，此时a3b3无意义．[思考尝试·夯基]1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝()A．(2，－4，2)B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2)D．(2，1，－3)解析：b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)．答案：B2．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值分别可以为()A．2，12B．－13，12C．－3，2D．2，2解析：因为a∥b，所以有a＝tb(t∈R)．所以λ＋1＝6t，0＝（2μ－1）t，2＝2λt，解得t＝12，λ＝2，μ＝12，或t＝－13，λ＝－3，μ＝12.答案：A3．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则AC→与AB→的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C4．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，M为BC的中点，则|AM→|＝________．解析：因为B(4，－3，7)，C(0，5，1)，M为BC的中点，所以M(2，1，4)，所以AM→＝(－1，－2，2)．所以|AM→|＝1＋4＋4＝3.答案：35．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________．解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则E0，12，1，F1，0，12，所以AE→＝0，12，1，AF→＝1，0，12，所以cos〈AE→，AF→〉＝AE→·AF→|AE→||AF→|＝1252×52＝25，所以cos∠EAF＝25.答案：25类型1空间向量的坐标运算(自主研析)[典例1]已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.归纳升华空间向量的加法、减法、乘法及数乘运算的方法1．将已知向量的坐标，代入空间向量的加减和数乘运算的坐标表示公式进行计算．2．熟练应用有关的乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积．[变式训练]设O为坐标原点，向量OA→＝(1，2，3)，OB→＝(2，1，2)，OP→＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，求点Q的坐标．解：设OQ→＝λOP→，所以QA→＝OA→－OQ→＝OA→－λOP→＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝OB→－OQ→＝OB→－λOP→＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA→·QB→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，所以当λ＝43时，QA→·QB→取得最小值．又OQ→＝λOP→＝43(1，1，2)＝43，43，83.所以，所求点Q的坐标为43，43，83.类型2向量的平行与垂直问题[典例2]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝AB→，b＝AC→.(1)设|c|＝3，c∥BC→，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.解：(1)因为BC→＝(－2，－1，2)且c∥BC→，所以设c＝λBC→＝(－2λ，－λ，2λ)．所以|c|＝（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝AB→＝(1，1，0)，b＝AC→＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－52.归纳升华解决空间向量垂直、平行问题的思路1．若有关向量未知时，通常需要设出向量的坐标，例如设向量a＝(x，y，z)．2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程求解．3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．[变式训练]已知向量a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)，c＝(2，x，－4)．(1)判断a，b的位置关系；(2)若a∥c，求|c|；(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影．解：(1)因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)，所以b＝－2a，所以a∥b.(2)因为a∥c，所以21＝x2＝－4－2，解得x＝4.所以c＝(2，4，－4)，从而|c|＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)因为b⊥c，所以b·c＝0，即(－2，－4，4)×(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0，解得x＝－5，所以c＝(2，－5，－4)，所以c在a方向上的投影为|c|cos〈a，c〉＝|c|·a·c|a||c|＝（1，2，－2）×（2，－5，－4）12＋22＋（－2）2＝2－10＋83＝0.类型3空间向量夹角的应用(规范解答)[典例3](本小题满分12分)已知a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－25)，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．审题指导：[规范解答]由已知a·b＝5×(－2)＋3t－25＝3t－525，(2分)因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0.(4分)所以3t－525＜0，即t＜5215.(6分)若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，(8分)即(5，3，1)＝λ－2，t，－25，所以5＝λ·（－2），3＝λ·t，1＝λ·－25，所以t＝－65，(10分)故t的范围为－∞，－65∪－65，5215.(12分)失分警示：此处易漏掉若a与b的夹角为180°的情形，事实上a·b＜0⇔cosθ＜0，而当cosθ＜0时，有θ为钝角和θ＝180°两种情形，因此要考虑到θ＝180°的特殊情形．在考试中此步分数为2～4分．在解题过程中，把向量的坐标相等转化为方程组，注意对应坐标相等，此步是解题的基本功，是考试中不能失分的步骤．归纳升华1．解题时注意进行等价转化．2．对于公式中的一些特殊情形要记清，不要漏掉，如a，b夹角为180°时．3．注意解答题的规范性，不要漏掉必要的步骤，保证解答的完整，不失分．[类题尝试]如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，A1A的中点为N.(1)求BN→的长；(2)求cos〈BA1→，CB1→〉的值．解：如图所示，以C为原点，以CA→，CB→，CC1→为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz.(1)依题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．所以|BN→|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3.(2)依题意，得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)．所以BA1→＝(1，－1，2)，CB1→＝(0，1，2)，所以BA1→·CB1→＝3.所以|BA1→|＝6，|CB1→|＝5.所以cos〈BA1→，CB1→〉＝BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|＝3010.1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况，如典例3.2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3．若〈AB→，CD→〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cosθ＝|cosα|，cosθ不会为负值．4．空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：(1)求向量的模|a|＝a·a；(2)求角，利用公式cos〈a·b〉＝a·b|a||b|；(3)证明垂直a·b＝0⇔a⊥b.