2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人

第三章空间向量与立体几何3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示[学习目标]1.空间向量基本定理(重点)．2.用基底表示已知向量(难点)．3.在不同坐标系中向量坐标的相对性(易错点)．[知识提炼·梳理]1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量．温馨提示1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．2．空间向量的正交分解及坐标表示(1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的单位向量组成的基底称为单位正交基底．(2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标系Oxyz中，沿x轴、y轴、z轴的正方向各有一个单位向量i，j，k(组成空间一个单位正交基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量p＝OP→，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk，这样的分解称为空间向量的正交分解．(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量p作正交分解可得p＝xi＋yj＋zk，则x，y，z称作向量p在单位正交基底{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．温馨提示空间一点的坐标的确定方法对空间的一点P(x，y，z)，如图①所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝PP′，根据点A，C，D的位置即可确定x，y，z的符号．例如，在图②所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，D1(0，0，1)．[思考尝试·夯基]1．给出的如下四个命题．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：①④错误，②③正确．答案：C2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是()A.AB→，AC→，AD→B.AB→，AA1→，AB1→C.D1A1→，D1C1→，D1D→D.AC1→，A1C→，CC1→解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，只有C中的三个向量D1A1→，D1C1→，D1D→不共面，可以作为空间向量的一个基底．答案：C3．长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB→＝3i，AD→＝2j，AA1→＝5k，则AC1→＝()A．i＋j＋kB.13i＋12j＋15kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k解析：由向量的加法法则知C正确．答案：C4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则AD→的坐标为_______，AC1→的坐标为_______，AC→的坐标为________．解析：根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，D(0,2，0)，则AD→的坐标为(0，2，0)，AC1→的坐标为(2，2，1.5)，AC→的坐标为(2，2，0)．答案：(0，2，0)(2，2，1.5)(2，2，0)5．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组是____(填序号)．解析：如图所示，设a＝AB→，b＝AD→，c＝AA1→，则x＝AC→，y＝AD1→，z＝AB1→，a＋b＋c＝AC1→.由A，B1，C，D1四点不共面可知，向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z；x，y，a＋b＋c也不共面．答案：②③④类型1基底的概念与判断(自主研析)[典例1]若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.因为{a，b，c}为基底．所以a，b，c不共面．所以1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面．所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．归纳升华1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．[变式训练]已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A．3a，a－b，a＋2bB．2b，b－2a，b＋2aC．a，2b，b－cD．c，a＋c，a－c解析：由平面向量基本定理知C正确．答案：C类型2用基底表示向量[典例2]如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量OG→和GH→.解：因为OG→＝OA→＋AG→，而AG→＝23AD→，AD→＝OD→－OA→，又D为BC中点，所以OD→＝12(OB→＋OC→)，所以OG→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23OA→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．而GH→＝OH→－OG→，又因为OH→＝23OD→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)，所以GH→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.所以OG→＝13(a＋b＋c)；GH→＝－13a.归纳升华1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．[变式训练]如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，MA→＝－13AC→，ND→＝13A1D→.设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.(1)试用a，b，c表示MN→；(2)试用a，b，c表示MD1→.解：(1)连接AN(图略)，则MN→＝MA→＋AN→.由ABCD是平行四边形，得AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，则MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)．又A1D→＝AD→－AA1→＝b－c，故AN→＝AD→＋DN→＝AD→－ND→＝AD→－13A1D→＝b－13(b－c)．故MN→＝MA→＋AN→＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b＋c)．(2)连接AD1→(图略)，则MD1→＝MA→＋AD1→.MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)，AD1→＝AD→＋AA1→＝b＋c，故MD1→＝MA→＋AD1→＝－13(a＋b)＋b＋c＝－13a＋23b＋c.类型3空间向量的坐标表示(互动探究)[典例3]已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN→的坐标．解：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设AB→＝e1，AD→＝e2，AP→＝e3.因为MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)＝－12AB→＋AP→＋12(－AP→＋AD→＋AB→)＝12AP→＋12AD→＝12e3＋12e2.所以MN→＝0，12，12.[迁移探究1](改变问法)其他条件不变，典例3问法改为：求向量ND→的坐标．解：因为PA＝AD＝AB，设AB→＝e1，AD→＝e2，AP→＝e3，因为ND→＝MD→－MN→＝AD→－AM→－12AP→＋12AD→＝12AD→－12AB→－12AP→＝－12e1＋12e2－12e3，所以ND→＝－12，12，－12.[迁移探究2](变换条件)其他条件同典例3，空间直角坐标系的建立不同于典例3.建立如图所示的空间直角坐标系，求MN→，DC→的坐标．解：因为PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设DA→＝e1，AB→＝e2，AP→＝e3.分别以e1，e2，e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，如题图所示．则DC→＝(0，1，0)，MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，从而可知MN→＝－12，0，12.归纳升华1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．2．求空间向量坐标的一般步骤．(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来，确定坐标．3．适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不同．1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．基向量的选择和使用方法．用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行，选择和使用向量应注意：(1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断．(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的加、减、乘、除表示未知向量．(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底．(4)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．3．一般用单位正交基底下的向量表示向量的坐标，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，尤其注意线段长度的关系、向量的方向，以防出现失误.