2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修

第三章空间向量与立体几何3．1.3空间向量的数量积运算[学习目标]1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律(重点)．2.能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直(难点)．[知识提炼·梳理]1．空间向量的夹角(1)文字叙述：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)图形表示：角度表示〈a，b〉＝0°〈a，b〉是锐角〈a，b〉是直角〈a，b〉是钝角〈a，b〉180°(3)范围：[0，π]．(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝π2，那么a，b互相垂直，记作a⊥b．温馨提示△ABC中，〈AB→，BC→〉与∠ABC互补而非相等．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积．记法：a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的数量和满足的运算律.数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质.(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|两个向量数量积的性质(4)|a·b|≤|a|·|b|温馨提示对空间向量的数量积的四点说明1．运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积．2．运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替．3．注意点：①数量积的符号由夹角的余弦值决定．②当a≠0时由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.4．a·b的几何意义．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．[思考尝试·夯基]1．已知a，b均为单位向量，a⊥b，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝90°，所以|a＋3b|2＝10，所以|a＋3b|＝10.答案：B2．设ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.AB→·C1A→＝a2B.AB→·A1C1→＝2a2C.BC→·A1C→＝a2D.AB→·C1A1→＝a2答案：C3．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：对于①，向量数量积不满足结合律，此式不成立．对于②，由向量减法的三角形法则知其正确．对于③，因为[(b·a)·c－(c·a)·b]·c＝(b·a)·c2－(c·a)·(b·c)，有可能为0，两者有可能垂直，③不对；④显然正确．答案：D4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角为________．解析：不妨设正方体的棱长为1，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，A1B→＝a－c，AC→＝a＋b.所以A1B→·AC→＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.而|A1B→|＝|AC→|＝2，所以cos〈A1B→，AC→〉＝12×2＝12，所以〈A1B→，AC→〉＝60°.答案：60°5．已知|a|＝22，|b|＝22，a·b＝－2，则a与b的夹角大小为________．解析：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－222×22＝－22，所以〈a，b〉＝135°.答案：135°类型1空间向量的数量积(自主研析)[典例1]在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，试计算下列各式的值．(1)AB→·AC→；(2)AD→·C1B1→；(3)AA1→·CD1→；(4)CC1→·BD1→.解：(1)AB→·AC→＝AB→·(AB→＋BC→)＝AB→·AB→＋AB→·BC→＝22＋0＝4.(2)AD→·C1B1→＝AD→·CB→＝AD→·DA→＝－22＝－4.(3)AA1→·CD1→＝AA1→·(CD→＋CC1→)＝CC1→·(CD→＋CC1→)＝CC1→·CD→＋CC1→·CC1→＝4.(4)CC1→·BD1→＝CC1→·(BD→＋DD1→)＝CC1→·BD→＋CC1→·DD1→＝CC1→·(BA→＋BC→)＋CC1→·DD1→＝CC1→·BA→＋CC1→·BC→＋CC1→·DD1→＝4.归纳升华1．向量的数量积通常是与向量的加、减运算，数乘运算相结合进行；2．求向量的数量积关键是求出两个向量的模和夹角；3．表示向量的夹角应注意方向性，如〈AB→，AC→〉＝60°，而〈BA→，AC→〉＝120°.[变式训练]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1.(1)求OA→·OB→；(2)求(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)．解：(1)OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12.(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(OA→＋OB→)·(OA→－OC→＋OB→－OC→)＝(OA→＋OB→)·(OA→＋OB→－2OC→)＝1＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋1－2×1×1×cos60°＝1.类型2利用数量积求夹角[典例2]如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解：因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.即OA与BC所成角的余弦值为3－225.归纳升华利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．[变式训练]如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.证明：设CB→＝a，CD→＝b，CC1→＝c，则|a|＝|b|.因为BD→＝CD→－CB→＝b－a，所以BD→·CC1→＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|·cos60°＝0，所以C1C⊥BD.类型3利用数量积求距离[典例3]如图所示，在平面角为120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，则CD＝________．解析：因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0.因为二面角α­AB­β的平面角为120°，所以〈CA→，BD→〉＝180°－120°＝60°.所以|CD→|2＝CD→2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝CA2→＋AB2→＋BD2→＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2BD→·AB→＝3×62＋2×62×cos60°＝144，所以CD＝12.答案：12归纳升华利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．[变式训练]如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．解：因为AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，所以AC1→2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°.所以AC1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为|AC1→|2＝AC1→2，所以|AC1→|2＝23，|AC1→|＝23，即AC1的长为23.1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．2．数量积及其应用．(1)求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；(2)证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；(3)求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a|＝a·a；(4)求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决．3．在实数运算中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，如果a，b换为向量a，b，这一性质不成立，解题时要格外注意，以防出现错误.