2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修2

第三章空间向量与立体几何3．1.2空间向量的数乘运算[学习目标]1.掌握空间向量的数乘运算(重点)．2.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用(重点、难点)．3．体会向量共线、向量共面与直线位置关系之间的转化．[知识提炼·梳理]1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λ·a，称为向量的数乘运算．(2)向量a与向量λa的关系．λ的范围方向关系模的关系λ＞0方向与a同向λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ＜0方向与a反向λa的模是a的模的|λ|倍温馨提示1．注意实数与向量的积的特殊情况，当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a≠0时，有λa≠0.2．实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ＋a，λ－a无意义．(3)空间向量的数乘运算满足的运算律．①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.2．共线向量与共面向量比较项共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫作共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta，其中a叫作直线l的方向向量，如图所示.若在l上取AB→＝a，则式子OP→＝OA→＋ta可化为OP→＝OA→＋tAB→如图所示，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→，或对空间任意一点O来说，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→温馨提示1．向量共线定理可分解为以下两个命题：①a∥b(b≠0)⇒存在唯一实数λ，使得a＝λb；②存在唯一实数λ，使得a＝λb(b≠0)，则a∥b.2．若对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有向量关系OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→成立，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面，这一结论常用来判定空间中四个点共面．3．对共面向量的两点说明：(1)共面向量是指平行同一个平面的向量．共面向量可以平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．(2)向量的“自由性”：空间任意两向量都是共面的．方向相同，大小相等的向量都相等．只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．[思考尝试·夯基]1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量解析：2a－b与a，b共面．答案：A2．设空间四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则()A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.AB→与AP→的方向一定相同解析：已知m＋n＝1，则m＝1－n，OP→＝(1－n)OA→＋nOB→＝OA→－nOA→＋nOB→⇒OP→－OA→＝n(OB→－OA→)⇒AP→＝nAB→.因为AB→≠0，所以AP→和AB→共线，即点A，P，B共线．答案：A3．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→解析：由已知得2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0，所以OC→＝2OA→－OB→.答案：A4．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，AB→＝λBC→，则λ＝________．解析：因为点C在线段AB上，所以AB→与BC→方向相反，又因为|AB|＝5，|BC|＝3，所以AB→＝－53BC→，故λ＝－53.答案：－535．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM→＝－2OA→＋OB→＋λOC→确定的点M与A，B，C共面，则λ＝________．解析：M与A，B，C共面，则OM→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，其中x＋y＋z＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.答案：2类型1空间向量的数乘运算(自主研析)[典例1]如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为N是BC的中点，所以A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.归纳升华1．利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．2．运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚，实数的运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算．[变式训练]如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c解析：B1M→＝B1B→＋BM→＝A1A→＋12BD→＝A1A→＋12(B1A1→＋B1C1→)＝－12a＋12b＋c.答案：A类型2向量共线问题[典例2]如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是CB,CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.利用向量法求证四边形EFGH是梯形．证明：因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以AE→＝12AB→，AH→＝12AD→，EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝1232CG→－32CF→＝34(CG→－CF→)＝34FG→.所以EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|，又F不在EH上，所以四边形EFGH是梯形．归纳升华1．判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.2．由证EH→＝λFG→可得EH∥FG，另注意|EH→|＝|λ||FG→|.3．(1)利用向量共线还可证明点共线，证明点共线，只需证明对应的向量共线．(2)证明空间任意三点P，A，B共线可通过下列结论来证明：①PA→＝λPB→；②对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．[变式训练]如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝12FC1，判断ME→与NF→是否共线．解：由已知可得，ME→＝MD1→＋D1A1→＋A1E→＝12BA→＋CB→＋13A1A→＝－NB→＋CB→＋13C1C→＝CN→＋FC→＝FN→＝－NF→，所以ME→与NF→共线．类型3向量共面问题(规范解答)[典例3]（本小题满分12分）如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.审题指导：寻找AB，BC，CD，DA的中点―→借助于平行关系表示EG→→寻求EG→，EF→与EH→的关系→判断E，F，G，H四点共面[规范解答]分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，O，R为所在边的中点，(2分)顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE→＝23PM→，PF→＝23PN→，PG→＝23PQ→，PH→＝23PR→，(4分)因为MNQR为平行四边形，所以EG→＝PG→－PE→＝23PQ→－23PM→＝23MQ→＝23(MN→＋MR→)＝23(PN→－PM→)＋23(PR→－PM→)＝2332PF→－32PE→＋2332PH→－32PE→＝EF→＋EH→.(10分)所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面．(12分)失分警示：本题在利用三角形法则或平行四边形法则时易弄错顺序而导致证明思路受阻．归纳升华1．(1)利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件；(2)解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→(x＋y＋z＝1)；(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．[类题尝试]已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)因为OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，所以MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以向量MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)向量MA→，MB→，MC→共面，三个向量的基线又有公共点M，所以M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．