2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修

第三章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.1空间向量及其加减运算[学习目标]1.空间向量的基本概念和性质(难点)．2.空间向量的加减法运算(重点)．[知识提炼·梳理]1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量．(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法①几何表示法：空间向量用有向线段表示.②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB→，其模记为|AB→|或|a|.温馨提示1．空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．2．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法．2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|＝1或|AB→|＝1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB→＝CD→温馨提示两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．3．空间向量的加法和减法运算加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b空间向量的运算减法CA→＝OA→－OC→＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)[思考尝试·夯基]1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量AD→相等的向量共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：与向量AD→相等的向量有BC→，A1D1→，B1C1→共3个．答案：C2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列各结论正确的有()①OA→＋OD→与OB1→＋OC1→是一对相反向量；②OB→－OC→与OA1→－OD1→是一对相反向量；③OA→＋OB→＋OC→＋OD→与OA1→＋OB1→＋OC1→＋OD1→是一对相反向量；④OA1→－OA→与OC→－OC1→是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形解析：因为AO→＋OB→＝DO→＋OC→，所以AB→＝DC→，所以AB∥DC且|AB→|＝|DC→|.所以四边形ABCD为平行四边形．答案：A4．式子(AB→－CB→)＋CC1→运算的结果是________．解析：(AB→－CB→)＋CC1→＝(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→.答案：AC1→5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AB、B1C的中点．用AB→，AD→，AA1→表示向量MN→，则MN→＝________．解析：MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.答案：12AB→＋12AD→＋12AA1→类型1空间向量的概念(自主研析)[典例1](1)给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．1(2)在如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量AA1→相等的向量有________个(不含AA1→)．解析：(1)当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点相同，故命题①错误；命题②错误；命题③④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．(2)由平行六面体ABCD­A1B1C1D1知向量BB1→，CC1→，DD1→与向量AA1→方向相同，长度相等，故与向量AA1→相等的向量有3个．答案：(1)C(2)3归纳升华1．在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致．2．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．3．判断有关向量相等的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小与方向，两者缺一不可，相互制约．[变式训练](1)下列命题中假命题的个数是()①向量AB→与BA→的长度相等；②空间向量就是空间中的一条有向线段；③不相等的两个空间向量的模必不相等．A．1B．2C．3D．0(2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，①写出模为5的所有向量；②写出与AB→相等的所有向量；③写出B1B→的相反向量；④单位向量共有多少个．(1)答案：B(2)解：①显然A1D＝AD1＝B1C＝BC1＝5，所以模为5的向量为A1D→，DA1→，AD1→，D1A→，B1C→，CB1→，BC1→，C1B→.②与向量AB→相等的所有向量为DC→，A1B1→，D1C1→.③与向量B1B→相反的所有向量为AA1→，BB1→，CC1→，DD1→.④由于AA1＝1，所以AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．类型2空间向量的加减运算[典例2]如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA′→－CB→；(2)AA′→＋AB→＋B′C′→.解：(1)AA′→－CB→＝AA′→－DA→＝AA′→＋AD→＝AA′→＋A′D′→＝AD′→.(2)AA′→＋AB→＋B′C′→＝(AA′→＋AB→)＋B′C′→＝AB′→＋B′C′→＝AC′→，向量AD′→、AC′→如图所示．归纳升华1．化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．2．化简的结果要在图中标注好．[变式训练]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果所表示的向量．(1)AB→＋BC→；(2)AB→＋AD→＋AA1→；(3)AB→－DA→－B1B→－CC1→.解：(1)AB→＋BC→＝AC→.(2)AB→＋AD→＋AA1→＝AC→＋CC1→＝AC1→.(3)AB→－DA→－B1B→－CC1→＝AB→＋AD→－B1B→－CC1→＝AC→－C1C→－CC1→＝AC→＋CC1→－CC1→＝AC→.表示如图．类型3空间向量加减运算的应用(误区警示)[典例3]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，化简DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→.易错提示：对向量减法的三角形法则理解错误致误．如DA→－DB→＝AB→是错误的，而应有DA→－DB→＝BA→.防范措施：掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率．解：DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→＝BA→＋BC→＋BB1→＝BD→＋BB1→＝BD→＋DD1→＝BD1→.[类题尝试]证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．证明：如图所示，平行六面体ABCD­A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则AO→＝12AC′→＝12(AB→＋AD→＋AA′→)．设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋12BD′→＝AB→＋12·(BA→＋BC→＋BB′→)＝AB→＋12(－AB→＋AD→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)．同理可证：AM→＝12(AB→＋AD→＋AA′→)，AN→＝12(AB→＋AD→＋AA′→)．由此可知O，P，M，N四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．(1)空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．(2)向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．(3)用已知向量表示指定向量的方法．用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出来，然后转化为已知向量的线性式．