2019秋高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1

数学必修①·人教A版第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案一天，一个叫杰米的百万富翁碰上一件奇怪的事：一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头．本节课我们就来研究此类问题．•1．四种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)y＝kx＋b(k＞0)在(0，＋∞)上的增减性______函数______函数______函数______函数增长的速度越来越______越来越______相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n值而不同直线上升增增增增快慢•2.三种增长函数模型的比较•(1)指数函数和幂函数．•一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax______xn.•(2)对数函数和幂函数．•对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax______xn.快＞慢＜•(3)指数函数、对数函数和幂函数．•在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是______函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越______，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________＜xn＜______.增快logaxax•1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是()•A．y＝100xB．y＝log100x•C．y＝x100D．y＝100x•[解析]由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．D•2．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是()•A．增加了7.84%B．减少了7.84%•C．减少了9.5%D．不增不减•[解析]设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，•所以a－0.9216a＝0.0784a＝7.84%a，•故变化的情况是减少了7.84%.B•3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()•[解析]由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．D•4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：•①前三年中产量增长的速度越来越快；•②前三年中产量增长的速度越来越慢；•③第三年后这种产品停止生产；•④第三年后产量保持不变．•其中说法正确的是________.•[解析]由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0a1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产．②③互动探究学案命题方向1⇨函数模型的增长差异•四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：•关于x呈指数函数变化的变量是______.典例1x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907y2•[思路分析](1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．•[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．•从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．•『规律方法』三种函数模型的增长规律：•(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．•(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．•(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.•〔跟踪练习1〕•下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：x2xx22x＋7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585712849212.807825664233951281253.170101024100273.322•试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？•(2)各函数增长速度快慢有什么不同？•[解析](1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．•(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．命题方向2⇨巧用图象比较大小•已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2016)，g(2016)的大小．•[思路分析]已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.•条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．典例2[解析]列表：x…－10123…f(x)…121248…g(x)…－101827…•描点、连线，得如图所示图象：•则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.•∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，•f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，•∴f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，•∴1x12,9x210，∴x18x22016.•从图象上知，当x1xx2时，f(x)g(x)；•当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，•∴f(2016)g(2016)g(8)f(8)．•〔跟踪练习2〕•函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．•(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；•(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．•[解析](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.•(2)当0xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)．忽视函数的性质致误•某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元，要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高的人数要越少，则下列函数最符合要求的是()典例3A．y＝(x－50)2＋500B．y＝10x25＋500C．y＝11000(x－50)3＋625D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]C[错解]由条件知绩效工资不低于500元，且平均分在50分左右，故选A．•[错因分析]错误的根本原因是忽视了绩效分数越高，则绩效工资越高这个条件，实际上本题中的函数应是增函数，且先慢后快，在x＝50左右增长缓慢．[正解]选C．由题意知：拟定函数应满足①是单调增函数，且先慢后快；②在x＝50左右增长缓慢，最小值为500；A中，y＝(x－50)2＋500是先递减后增加，不符合要求；B中y＝10x25＋500是指数函数类型，是增长越来越快的，不符合要求；C中，y＝11000(x－50)3＋625是由y＝x3平移和伸缩变换得到的，符合题目要求；D中，y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数函数类型，增长速度越来越慢，不符合要求．[警示]实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数．建模思想——函数模型的选择•某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？•[思路分析]本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．典例4[解析]由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得3a＋b＝1.32a＋b＝1.2，解得a＝0.1b＝1.所以有关系式y＝0.1x＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得a＋b＋c＝14a＋2b＋c＝1.29a＋3b＋c＝1.3，解得a＝－0.05b＝0.35c＝0.7.所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得ab＋c＝1，①ab2＋c＝1.2，②ab3＋c＝1.3.③由①，得ab＝1－c，代入②③，得b1－c＋c＝1.2b21－c＋c＝1.3，则c＝1.2－b1－bc＝1.3－b21－b2，解得b＝0.5c＝1.4.则a＝1－cb＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.•结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.•比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．•因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．•『