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第三章概率章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．随机事件的概率易失误点．(1)对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程．(2)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误．2．几何概型中的易失误点．(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概型．(2)解题时要明确几何概型中构成事件A的区域是长度、面积，还是体积．专题一互斥事件、对立事件的概率互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者中必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况．应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．[例1]甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种，“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.归纳升华1．互斥事件与对立事件的概率计算．(1)若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)设事件A的对立事件是A－，则P(A)＝1－P(A－)．2．求复杂事件的概率常用的两种方法．(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A－)求解．[变式训练]黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D)′＝1－0.64＝0.36.专题二古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．[例2]已知实数a，b∈{－2，－1，1，2}．(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．解：(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足a≥0，b≥0.即满足条件的实数对(a，b)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种．则P(A)＝416＝14.故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为14.(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足|b|a2＋1≤1，即b2≤a2＋1.若a＝－2，则b＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；若a＝－1，则b＝－1，1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝1，则b＝－1，1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝2，则b＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．所以满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．所以P(B)＝1216＝34.故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为34.归纳升华求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等．[变式训练]如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.答案：C专题三几何概型几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有长度之比、面积之比、体积之比等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．[例3]如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()解析：这是一几何概型，所求概率为12·AB·ADAB·AD＝12.答案：C归纳升华对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的概率求解方法，主要有下面两种类型：1．线型几何概型：基本事件受一个连续的变量控制．2．面积几何概型：基本事件受两个连续的变量控制．一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．[变式训练]某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.答案：B专题四概率与统计的综合问题统计和古典概型的综合问题是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．[例4]某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名学生，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A，B两个小组所有学生所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B组一学生的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名学生，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．解：(1)因为A组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，所以B组学生的平均分为86分．设被污损的分数为x，则91＋93＋83＋x＋755＝86，解得x＝88，所以B组学生的分数分别为93，91，88，83，75，其中有3人的分数超过85分，所以在B组学生中随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A组学生的分数分别是94，88，86，80，77,在A组学生中随机抽取2名学生，其分数组成的基本事件(m，n)有(94，88)，(94，86)，(94，80)，(94，77)，(88，86)，(88，80)，(88，77)，(86，80)，(86，77)，(80，77)，共10个，随机抽取2名学生的分数m，n满足|m－n|≤8的基本事件有(94，88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86，80)，(80，77)，共6个．故|m－n|≤8的概率为610＝35.归纳升华本题通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．[变式训练]随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班同学身高集中于160～179cm，而乙班同学身高集中于170～179cm.因此乙班平均身高高于甲班．(2)x－甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，所以P(A)＝410＝25.专题五转化与化归思想本章中多次用到了转化与化归思想，比如在求解概率时，有时要转化为求互斥事件的和事件，有时要转化为求对立事件，有时还要将代数问题转化为几何问题等．[例5]在|p|≤3，|q|≤3的前提下，随机取数对(p，q)，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．解：根据一元二次方程有实数根找出p，q需满足的条件，从而确定区域测度．|p|≤3，|q|≤3对应的区域是边长为6的正方形，如图所示，S正方形＝62＝3