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第三章概率3．2古典概型3．2.1古典概型3．2.2(整数值)随机数(randomnumbers)的产生[学习目标]1.理解古典概型及其概率计算公式(重点)．2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率(重点、难点)．3.会用模拟方法近似计算概率(难点)．[知识提炼·梳理]1．基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．(2)特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.3．随机数与伪随机数(1)随机数．要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．(2)伪随机数．计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．4．整数值随机数的产生及应用(1)产生整数值随机数的方法．用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．(2)整数值的随机数的应用．利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．()(3)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是1n.()(4)随机模拟方法只适用于试验结果有限的试验．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是()A．1B．2C．4D．6答案：D3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面向上，一次反面向上；事件N：至少一次正面向上，则下列结果正确的是()A．P(M)＝13，P(N)＝12B．P(M)＝12，P(N)＝12C．P(M)＝13，P(N)＝34D．P(M)＝12，P(N)＝34解析：基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)＝12，P(N)＝34.答案：D4．有一栋楼共6个单元，小玉与小刚都在此楼内，他们在此楼同一单元的概率为________．解析：设(m，n)表示小玉与小刚的居住情况，其中m为小玉所住的单元，n为小刚所住的单元，则小玉与小刚的住法为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36种情况，而他们在同一单元的情况为：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)共6种情况，所以他们在此楼同一单元的概率为636＝16.答案：165．从分别写有数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出2张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为________．解析：从9张卡片中任取两张有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36种取法．积为完全平方数时有(1，4)，(1，9)，(2，8)，(4，9)共4种，故所求概率为436＝19.答案：19类型1基本事件及其计算[典例1](1)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A．2B．3C．4D．6(2)将一枚骰子先后抛掷两次，则：①一共有几个基本事件？②“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？(1)解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种可能．答案：C(2)解：法一(列举法)①用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．②“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二(列表法)12345612345672345678345678945678910567891011①由表知，基本事件总数为36.②总数之和大于8包含10个基本事件．法三(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：①由图知，共36个基本事件．②点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．归纳升华基本事件的两个探求方法1．列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)．2．树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)．[变式训练]连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的所有基本事件．(2)求这个试验的基本事件的总数．(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？解：(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．类型2古典概型的概率计算[典例2](2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.归纳升华求古典概型概率的计算步骤1．确定基本事件的总数n；2．确定事件A包含的基本事件的个数m；3．计算事件A的概率P(A)＝mn.[变式训练](1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A．0.4B．0.6C．0.8D．1(2)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925解析：(1)记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝610＝0.6.(2)记这5名学生为甲、乙、a、b、c，从中随机选出2人包含的基本事件有：{甲，乙}，{甲，a}，{甲，b}，{甲，c}，{乙，a}，{乙，b}，{乙，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共10个．甲被选中包含的基本事件有：{甲，乙}，{甲，a}，{甲，b}，{甲，c}共4个，所以甲被选中的概率为410＝25.答案：(1)B(2)B类型3古典概型的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[审题指导](1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解；(2)要求选出的2名教师来自同一学校的概率，应先求出2名教师来自同一学校的基本事件．[规范解答](1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示．(1分)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．(3分)失分警示：若没有写出基本事件，此题不得分.从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，(5分)所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝49.(6分)(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．(8分)失分警示：基本事件写错一个不得分.从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，(10分)所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.失分警示：结果不正确扣2分(12分)归纳升华解决古典概型的应用问题的两个关键点1．审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键(关键词：不重不漏)．2．编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象