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第三章概率3．1.2概率的意义[学习目标]1.正确理解概率的意义(重点、难点)．2.能用概率知识正确解释现实生活中的实验问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．对概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．2．游戏的公平性(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．3．决定中的概率思想如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．4．天气预报的概率解释天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率是90%”的天气预报是错误的．5．试验与发现概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3：1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．6．遗传机理中的统计规律孟德尔在自己长达七八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．()(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．()(3)某事件发生的概率随试验次数的变化而变化．()(4)连掷3次硬币，可能3次均正面朝上．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．概率是指()A．事件发生的可能性大小B．事件发生的频率C．事件发生的次数D．无任何意义解析：概率是指事件发生的可能性大小．答案：A3．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指()A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B．老师在讲的10道题中，李峰听懂8道C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D．以上解释都不对解析：概率的意义就是事件发生的可能性大小．答案：C4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是()A．一定出现“6点朝上”B．出现“6点朝上”的概率大于16C．出现“6点朝上”的概率等于16D．无法预测“6点朝上”的概率解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．答案：C5．有以下一些说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365；②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为90%”是错误的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是________．解析：概率指的是事件发生的可能性的大小，故②④错误．答案：①③类型1概率含义的正确理解[典例1](1)下列说法正确的是()A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1(2)某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个患者都没有治愈，第10个患者就一定能治愈吗？(1)解析：一对夫妇先后生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中1张、2张、3张、4张，或者都不中奖．所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．答案：D(2)解：如果把治疗一个患者作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的患者能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个患者是这样，第10个患者仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.归纳升华从三个方面理解概率的意义1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．[变式训练]下列说法正确的是()A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51100C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是950解析：频率的计算公式为频数除以总数，可知D正确．答案：D类型2游戏的公平性[典例2]某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？解：该方案是公平的，理由如下：各种情况如下表所示：求和45671567826789378910由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．归纳升华判断游戏是否公平的步骤1．据游戏规则，列举出所有可能情况；2．计算符合参与者条件的基本事件数；3．计算参与者获胜的概率，判断是否公平．[变式训练]校庆就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．解：其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的，我们取三张卡片，上面标上1，2，3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：人名一二三四五六甲112233乙231312丙323121从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先后．类型3概率的应用[典例3]某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以，这次考试的及格率是75%.(2)“[70，80)，[80，90)，[90，100]”的人数是18，15，3.所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，选到第一名学生的概率P＝136.归纳升华1．由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．[变式训练]广东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产的2500套座椅中大约有多少套次品？解：设有n套次品，由概率的统计定义可知n2500≈5100，解得n≈125.所以该厂所产的2500套座椅中大约有125套次品．1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．3．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．4．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.