2019秋高中数学 第三章 不等式章末复习课课件 新人教A版必修5

第三章不等式章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域．Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等．(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)一正——各项为正数．(2)二定——“和”或“积”为定值．(3)三相等——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.(2)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.(2)若a＞b＞0，0＜c＜d，则ac＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a＞b＞0，则an＞bn或na＞nb.4．若ab＞0，a＞b，则1a＜1b；若ab＜0，a＞b，则1a＞1b.[例1]已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．解：因为a2b＋b2a－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)1b－1a＝(a2－b2)a－bab＝（a－b）2（a＋b）ab，因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0，所以a2b＋b2a－(a＋b)＞0，即a2b＋b2a＞a＋b.归纳升华不等式比较大小的常用方法1．作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．2．作商比较法：常用于分数指数幂的代数式．3．乘方转化的方法：常用于根式比较大小．4．分子分母有理化．5．利用中间量．[变式训练](1)如果a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)0(2)已知2a3，－2b－1，求ab，b2a的取值范围．(1)解析：因为ca，且ac0，所以c0，a0.A成立，因为cb，所以acab，即abac.B成立，因为ba，b－a0，所以c(b－a)0.C不一定成立，当b＝0时，cb2ab2不成立．D成立，因为ca，所以a－c0，所以ac·(a－c)0.答案：C(2)解：因为－2b－1，所以1－b2.又因为2a3，所以2－ab6，所以－6ab－2.因为－2b－1，所以1b24.因为2a3，所以131a12，所以13b2a2.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集．[例2](1)解不等式：－1＜x2＋2x－1≤2；(2)解不等式a（x－1）x－2＞1(a≠1)．解：(1)原不等式等价于x2＋2x－1＞－1，x2＋2x－1≤2，即x2＋2x＞0，①x2＋2x－3≤0.②由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．(2)原不等式可化为a（x－1）x－2－1＞0，即(a－1)x－a－2a－1(x－2)＞0，(*)①当a＞1时，(*)式即为x－a－2a－1(x－2)＞0，而a－2a－1－2＝－aa－1＜0，所以a－2a－1＜2，此时x＞2或x＜a－2a－1.②当a＜1时，(*)式即为x－a－2a－1(x－2)＜0，而2－a－2a－1＝aa－1.若0＜a＜1，则a－2a－1＞2，此时2＜x＜a－2a－1；若a＝0，则(x－2)2＜0，此时无解；若a＜0，则a－2a－1＜2，此时a－2a－1＜x＜2.综上所述，当a＞1时，不等式的解集为xx＜a－2a－1或x＞2；当0＜a＜1时，不等式的解集为x2＜x＜a－2a－1；当a＝0时，不等式的解集为∅；当a＜0时，不等式的解集为xa－2a－1＜x＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论1．对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．2．对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确时，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况加以讨论．3．若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的a(x－x1)(x－x2)≥0(或≤0)等的形式时，往往需要对其根分x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练](1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x0}，则S∩T＝()A．[2，3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)(2)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152解析：(1)S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，在数轴上表示出集合S，T，如图所示：由图可知S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞)．(2)法一因为不等式x2－2ax－8a20的解集为(x1，x2)，所以x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根．由根与系数的关系知x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以x2－x1＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4（－8a2）＝15，又因为a0，所以a＝52.法二由x2－2ax－8a20，得(x＋2a)(x－4a)0，因为a0，所以不等式x2－2ax－8a20的解集为(－2a，4a)，又因为不等式x2－2ax－8a20的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a.因为x2－x1＝15，所以4a－(－2a)＝15，解得a＝52.答案：(1)D(2)A专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高．(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.[例3]某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1tA，1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料/t现有原料数/tAB甲2114乙1318利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)设生产A，B两种产品分别为xt，yt，则利润z＝5x＋3y，x，y满足2x＋y≤14.x＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出的可行域如图阴影部分所示：当直线5x＋3y＝z过点B245，225时，z取最大值3715，即生产A产品245t，B产品225t时，可得最大利润．(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－5m，又kAB＝－2，kCB＝－13，要使最优解仍为B点，则－2≤－5m≤－13，解得52≤m≤15.所以，每吨B产品的利润在52～15万元范围变化时，原最优解不变；当超出这个范围时，最优解将变为(7，0)或(0，6)．归纳升华解答线性规划应用题的步骤1．列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．2．画：画出线性约束条件所表示的可行域．3．移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．4．求：通过解方程组求出最优解．5．答：作出答案．[变式训练]若x，y满足约束条件x≤3，x＋y≥2，y≤x，则x＋2y的最大值为()A．1B．3C．5D．9解析：本题考查简单的线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．令z＝x＋2y，当z＝x＋2y过A点时，z取最大值．由x＝3，y＝x得A(3，3)，所以z的最大值为3＋2×3＝9.答案：D专题四基本不等式[例4]若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4解析：依题意知a0，b0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立．因为1a＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22.答案：C归纳升华基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．1．基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2ab(a0，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤a＋b22解“定和求积，积最大”问题．2．在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋kx(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．[变式训练]若直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”．答案：C