2019秋高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式课件 新人教A版必修5

第三章不等式3．4基本不等式：ab≤a＋b2第1课时基本不等式[学习目标]1.通过实例探究抽象基本不等式，体会数学来源于生活．2.推导并掌握基本不等式，并从不同角度探索不等式ab≤a＋b2的证明过程．3.理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个正数相等．4.熟练掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R)，会用基本不等式证明不等式．[知识提炼·梳理]1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2.基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab．(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．基本不等式的常用推论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)当ab＞0时，ba＋ab≥2；当ab＜0时，ba＋ab≤－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4.()(3)若a＞0，b＞0，则ab≤a＋b22.()(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.()解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)错误．只有当a＞0时，根据基本不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立；(3)正确．因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22；(4)正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．若0a1，0b1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b解析：因为0a1，0b1，a≠b，所以a＋b2ab，a2＋b22ab.所以四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又因为0a1，0b1，所以a(a－1)0，b(b－1)0，所以a2＋b2－(a＋b)0，即a2＋b2a＋b，所以a＋b最大．答案：D3．给出下列条件：①ab0；②ab0；③a0，b0；④a0，b0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需a，b同号即可，所以①③④均可以．答案：C4．下列不等式一定成立的是()A．3x＋12x≥6B．3x2＋12x2≥6C．3(x2＋1)＋12（x2＋1）≥6D．3(x2－1)＋12（x2－1）≥6解析：A中x可能是负数，不成立；B中当且仅当3x2＝12x2，即x4＝16时取等号，成立；C中当3(x2＋1)＝12（x2＋1）时，(x2＋1)2＝16，不成立；D中x2－1也可能是负数，不成立．答案：B5．给出下面结论：①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb；③若x∈R，则x＋4x≥4.其中正确结论的序号是________．解析：①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga＞0，lgb＞0，即a＞1，b＞1时才成立；③x＋4x＝x＋4x≥2x·|4x|＝4成立．答案：①③类型1利用基本不等式比较大小[典例1](1)设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b(2)若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．解析：(1)法一因为0ab，所以aa＋b2b，排除A、C两项．又ab－a＝a(b－a)0，即aba，排除D项．法二取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以aaba＋b2b.(2)因为ab1，所以lgalgb0，所以12(lga＋lgb)lga·lgb，即QP.因为a＋b2ab，所以lga＋b2lgab＝12(lga＋lgb)，所以RQ，所以PQR.答案：(1)B(2)PQR归纳升华1．若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，即出现应用基本不等式的题眼时，可考虑是否利用基本不等式解决．2．在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0，同时注意能否取等号．[变式训练](1)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2(2)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．m≥n解析：(1)对于A，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故A错误；对于B，当a0，b0时，ab0，但a＋b≤－2ab，故B不成立；对于C，当a0，b0时，ab0，故C不成立；对于D，因为ab0，则ba0且ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2.当且仅当ba＝ab，即a＝b时，取“＝”，故D正确．(2)a2时，m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4.当a－2＝1a－2，即a－2＝1，a＝3时等号成立．b0时，有b2－2－2，可得n＝12b2－24，由上可知，mn.答案：(1)D(2)A类型2利用基本不等式证明不等式(互动探究)[典例2]设a，b，c都是正数，试证明不等式：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，bc＋cb≥2，所以ba＋ab＋ca＋ac＋bc＋cb≥6，当且仅当ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.[迁移探究]在典例2条件不变的情况下，证明ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc.证明：因为a，b，c都是正数，所以ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2)≥2a2b2c2＋2a2b2c2＋2a2b2c2＝6abc，所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．归纳升华利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．2．注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．[变式训练]已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理：1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．1．两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面，当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面，当a＋b2＝ab时，也有a＝b.2．由基本不等式变形得到的常见的结论．(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.(2)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋)．(3)ba＋ab≥2(a，b同号)．(4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b∈R＋)．(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.