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第三章不等式3．3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题[学习目标]1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值．3.训练数形结合、化归等数学思想，培养和发展数学应用意识．[知识提炼·梳理]1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.线性目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，它表示斜率为－ab，在y轴上的截距是zb的一条直线，当z变化时，方程表示一组相互平行的直线．当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域．()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．()(4)线性规划问题一定存在最优解．()解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.答案：B3．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2解析：如图：当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m，2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.答案：B4．若实数x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x0，y≤2，则yx的取值范围是()A．(0，2)B．(0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：可行域如图阴影部分所示，A(1，2)．目标函数yx可视为可行域内的点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，kOA＝2，而kOB→＋∞，故k∈[2，＋∞)．答案：D5．已知x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0，则x2＋y2的最小值是________．解析：作出可行域，则目标函数z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，显然当x＝1，y＝2时，zmin＝5.答案：5类型1求线性目标函数的最值[典例1](2018·全国卷Ⅰ改编)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，求目标函数z＝3x＋2y的最大值．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋12z，平移直线3x＋2y＝0可知，当直线y＝－32x＋12z经过A点时z取最大值，所以zmax＝2×3＝6.归纳升华解线性规划问题的基本步骤1．画：画出线性约束条件所表示的可行域．2．移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．3．求：通过解方程组求出最优解．4．答：根据所求得的最优解得出答案．[变式训练]设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，求目标函数z＝3x－y的最大值．解：在平面直角坐标系中画出可行域如图所示．把z＝3x－y变形为y＝3x－z，得到斜率为3，截距为－z的一组平行线．由图可见，当直线z＝3x－y经过可行域上的点M时，截距－z最小，z最大，解方程组x＋y－4＝0，x－3y＋4＝0，得点M的坐标为(2，2)，故zmax＝6－2＝4.类型2求非线性目标函数的最值[典例2]设实数x，y满足约束条件x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，求：(1)x2＋y2的最小值；(2)yx的最大值．解：如图，画出不等式组表示的平面区域ABC.(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为x＋2y－4＝0，y＝2x的解，即45，85，又由x＋2y－4＝0，2y－3＝0，得C1，32，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋322＝132，所以x2＋y2的最小值为134.(2)令v＝yx，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率，即v＝y－0x－0.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C1，32，所以vmax＝32，所以yx的最大值为32.归纳升华非线性目标函数最值问题的求解方法1．解非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．2．常见代数式的几何意义主要有：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离．（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[变式训练]设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝yx－5的最大值与最小值；(3)求z＝|2x＋y＋4|的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示．(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图象可知，当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0，0)时，u最小．因为C(3，8)，所以umax＝73，umin＝0.(2)v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5，0)连线的斜率，由图象可知，kBD最大，kCD最小．因为C(3，8)，B(3，－3)，所以vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.(3)因为z＝|2x＋y＋4|＝5·|2x＋y＋4|5表示可行域内的点P(x，y)到直线2x＋y＋4＝0的距离的5倍，由图象知点A到直线2x＋y＋4＝0的距离最小，点C到直线2x＋y＋4＝0的距离最大．因为A－52，52，C(3，8)，所以zmin＝5×2×－52＋52＋45＝32，zmax＝5×|2×3＋8＋4|5＝18.类型3已知目标函数的最值求参数问题[典例3]设m＞1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．解：作出可行域．把目标函数化为y＝－15x＋z5，显然只有y＝－15x＋z5在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A11＋m，m1＋m，代入目标函数，即11＋m＋5m1＋m＝4，解得m＝3.答案：3归纳升华根据目标函数的最值求参数的解题思路：采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．[变式训练](1)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥a（x－3）.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2(2)已知变量x，y满足约束条件0≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．(1)解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分所示)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝a（x－3），得x＝1，y＝－2a，所以zmin＝2－2a＝1，解得a＝12.答案：B(2)解：由约束条件画出可行域，如图所示，点C的坐标为(3，1)．因为目标函数仅在点C(3，1)处取得最大值，所以－a＜kCD，即－a＜－1，所以a＞1.解简单线性规划问题的基本步骤：1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即可行域．2．定线．令z＝0，得一过原点的直线．3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．4．求最优解．通过解方程组求出最优解．5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．