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第三章不等式3．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域[学习目标]1.了解二元一次不等式的几何意义．2.能用平面区域表示二元一次不等式组．3.能从实际问题的情境中抽象出二元一次不等式组．4.能在坐标平面上准确表示不等式组所表示的区域．5.能够利用平面区域解决简单的实际问题．[知识提炼·梳理]1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的数值的正负都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正负可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．()(2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1＞0表示的平面区域内．()(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．()(4)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．()解析：(1)错误．不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝12的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3＞0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1＞0表示的平面区域内．(3)错误．不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是()A．a0或a2B．0a2C．a＝2或a＝0D．0≤a≤2解析：直线方程为x＋y－a＝0，因为(0，0)和(1，1)在直线两侧，所以(0＋0－a)(1＋1－a)0，所以a(a－2)0，所以0a2.答案：B3．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.y≥－2，3x－2y＋60，x0B.y≥－2，3x－2y＋6≥0，x≤0C.y－2，3x－2y＋60，x≤0D.y－2，3x－2y＋60，x0解析：图中的三条直线是x＝0，y＝－2，x－2＋y3＝1，先确定边界，再确定不等号方向．答案：C4．若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为()A．－3B．1C.43D．3解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m2，即m－1，所围成的区域为△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为23(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43.解得m＝－3(舍去)或m＝1.答案：B5．若点P(m，3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________．解析：d＝|4m－9＋1|5＝4，2m＋3＜3，解得：m＝－3.答案：－3类型1二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例1]分别画出下列不等式表示的平面区域．(1)3x－4y－12≥0；(2)3x＋2y＜0.解：(1)先画直线3x－4y－12＝0.取原点(0，0)，代入3x－4y－12，得－12＜0.所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内．所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①所示：图①图②(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．取点(1，0)，代入3x＋2y，得3＞0.所以点(1，0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内．所以不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图②所示．归纳升华1．二元一次不等式表示平面区域的判定方法．第一步：直线定界．画出直线ax＋by＋c＝0，不等式为ax＋by＋c0(0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线．第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0，0)．若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点．简记为：直线定界，特殊点定域．2．二元一次不等式组表示的平面区域是由每个不等式所表示的平面区域来确定的，是它们所表示平面区域的交集．3．画平面区域的步骤．(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线；(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．[变式训练](1)画出不等式x＋2y－2＞0所表示的平面区域．(2)不等式组x－y≤0，x＋y≤0表示的平面区域是()解：(1)先画直线x＋2y－2＝0(画成虚线)，检验(0，0)不在该不等式表示的平面区域内．故所画区域如下：(2)C类型2二元一次不等式组表示的平面区域的应用(互动探究)[典例2]不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2表示的平面区域的面积为()A.503B.253C.1003D.103解析：作出不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2表示的平面区域，如图阴影部分所示，可以求得点A的坐标为43，43，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2),所以△ABC的面积是12×[8－(－2)]×43－（－2）＝503.答案：A[迁移探究]若典例2中不等式组所表示的平面区域被直线3kx＋3y－4k－4＝0分为面积相等的两部分，求k的值．解：直线3kx＋3y－4k－4＝0的方程可以化为k(3x－4)＋3y－4＝0，过定点43，43.正好是例题解析中的顶点A.因此只有直线过BC中点时，直线3kx＋3y－4k－4＝0能平分平面区域．因为B(－2，－2)，C(8，－2)，所以BC中点M(3，－2)．将点M的坐标代入直线3kx＋3y－4k－4＝0，可得9k－6－4k－4＝0，所以k＝2.归纳升华求二元一次不等式组所表示平面区域面积的方法与注意事项．1．求平面区域面积的方法：(1)用不等式组表示出平面区域．(2)若是规则图形，先求出关键点的坐标，再利用公式求出面积；若是不规则图形，则将其分成若干个规则图形求解．2．注意事项：(1)求面积时，要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求出相关的长度．(2)必要时将所求区域分割为几个规则的图形，分别求其面积再相加．[变式训练](1)不等式组x≤3，x＋y≥0，x－y＋5≥0表示的平面区域的面积是________；(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，由x＋y＝0，x－y＋5＝0，得A－52，52.由x＋y＝0，x＝3，得B(3，－3)．由x＝3，x－y＋5＝0，得C(3，8)，所以BC＝8－(－3)＝11，AD＝52＋3＝112.所以SΔABC＝12·BC·AD＝12×11×112＝1214.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D的坐标为12，52.直线y＝kx＋43过点12，52时，有52＝k2＋43，所以k＝73.答案：(1)1214(2)A类型3二元一次不等式组表示的平面区域的实际问题[典例3]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则2x＋3y≤14，2x＋y≤9，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图阴影部分所示．归纳升华用二元一次不等式组表示的平面区域表示实际问题的步骤如下：1．根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．2．将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．3．根据实际问题中有关的限制条件或根据问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．4．把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．[变式训练]某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个零件A，2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A，8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个，B零件最多12000个．用数学关系式和图形表示上述要求．解：设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有4x＋6y≤14000，2x＋8y≤12000，0≤x≤2500，x∈N，0≤y≤1200，y∈N.用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分整点)．1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B＞0时，(1)Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．