2019秋高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不等式的概念及

第三章不等式3．2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的概念及其解法[学习目标]1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)[知识提炼·梳理]1．一元二次不等式的概念概念我们把只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)，其中a≠0一元二次不等式的解使得某个一元二次不等式成立的③x的值叫做这个一元二次不等式的解一元二次不等式的解集使得某个一元二次不等式成立的④所有x的值的集合叫做这个一元二次不等式的解集2.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac(a＞0)判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0(1)求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤(2)画函数y＝f(x)的示意图f(x)＞0{x|xx1或xx2}{x∈R|x≠x1}R解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤(3)得不等式的解集f(x)＜0{x|x1xx2}∅∅[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．()(2)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}．()(4)不等式x2－2x＋3＞0的解集为R.()解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)错误．因为a＞0，所以不等式ax2＋1＞0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12＜0，所以不等式x2－2x＋3＞0的解集为R.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.x|x≠－13B.x|－13≤x≤13C．∅D.x|x＝－13解析：由原不等式得(3x＋1)2≤0，所以3x＋1＝0，所以x＝－13.答案：D3．若不等式ax2＋5x＋c0的解集为x13x12，则a，c的值为()A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝6D．a＝－1，c＝－6解析：易知a0，且－5a＝12＋13，ca＝13×12，⇒a＝－6，c＝－1.答案：B4．不等式x2－ax－12a20(其中a0)的解集为()A．(－3a，4a)B．(4a，－3a)C．(－3，a)D．(2a，6a)解析：因为x2－ax－12a2＝(x－4a)(x＋3a)，a0，所以－3a4a.所以不等式的解集为(4a，－3a)．答案：B5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.答案：k≤2或k≥4类型1一元二次不等式的概念[典例1]判断下列不等式哪些是一元二次不等式．①x2＞0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④mx2－5y＜0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.解：①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0时，它含有两个未知数，x，y；⑤不是，因为当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义．归纳升华紧扣一元二次不等式的概念来判断不等式是否是一元二次不等式．符合不等式定义的就是，不符合的就不是，特别注意二次项系数不等于0.不等式中只含一个未知量，且最高次数为2(二次项系数不为0)．[变式训练]下面所给关于x的几个不等式：①3x＋40；②x2＋mx－10；③ax2＋4x－70；④x20.其中一定为一元二次不等式的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①是一元一次不等式；②是一元二次不等式；③当a＝0时，是一元一次不等式，当a≠0时，是一元二次不等式；④是一元二次不等式．答案：B类型2解不含参数的一元二次不等式[典例2]求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－x2＋8x－3＞0；(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－814≥0；(5)－12x2＋3x－5＞0；(6)－2x2＋3x－2＜0.解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x＞－12或x＜－3.(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13＜x＜4＋13}．(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(4)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为x|x＝94.(5)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.归纳升华解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1．通过对不等式变形，使二次项系数大于0.2．计算对应方程的判别式．3．求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根．4．根据函数图象与x轴的相对位置写出不等式的解集．[变式训练]解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)－x2＋7x＞6；(3)(2－x)(x＋3)＜0；(4)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6＜0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数：y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1＜x＜6}．(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.所以原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为xx≠23.类型3解含参数的一元二次不等式[典例3](1)解关于x的不等式：x(x－a－1)≥－a.(2)解关于x的不等式：ax2－2(a＋1)x＋40.解：(1)原不等式化为(x－1)(x－a)≥0，相应方程的两根为1，a，故应比较1与a的大小．①当a1时，原不等式的解集为{x|x≤1或x≥a}．②当a＝1时，原不等式的解集为R.③当a1时，原不等式的解集为{x|x≤a或x≥1}．(2)①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x2}．②当a≠0时，原不等式化为：ax－2a·(x－2)0.(ⅰ)当a0时，原不等式等价于x－2a·(x－2)0，此时原不等式的解集为xx2a或x2；(ⅱ)当0a1时，22a，此时原不等式的解集为x2x2a；(ⅲ)当a1时，2a2，此时原不等式的解集为x2ax2；(ⅳ)当a＝1时，原不等式的解集为∅.归纳升华解含参数的一元二次不等式时，一般应对参数分类讨论．分类的情况主要有以下三种：1．若二次项系数为字母a，则应分a＝0，a0，a0三种情况讨论；2．若一元二次方程根的判别式符号不确定，则应分Δ＝0，Δ0，Δ0三种情况讨论；3．若一元二次方程的两个不等实根大小不确定，则应分两种情况讨论．[变式训练](1)解关于x的不等式：x2－ax－2a20.(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋10.解：(1)方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a，①若a0，则－ax2a，此时不等式的解集为{x|－ax2a}；②若a0，则2ax－a，此时不等式的解集为{x|2ax－a}；③若a＝0，则原不等式即为x20，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为当a0时，{x|－ax2a}；当a0时，{x|2ax－a}；当a＝0时，∅.(2)当a＝0时，原不等式可化为－x＋10，即x1，当a0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)0，即x－1a(x－1)0.所以1ax1.当a0时，原不等式可化为x－1a(x－1)0，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故：①当1a1，即0a1时，有x1a或x1；②当1a1，即a1时，有x1或x1a；③当1a＝1，即a＝1时，有x≠1.综上所述，当a0时，原不等式解集为x1ax1；当a＝0时，原不等式解集为{x|x1}；当0a1时，原不等式解集为xx1或x1a；当a＝1时，原不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；当a1时，原不等式解集为xx1a或x1.类型4一元二次方程、二次函数、二次不等式的关系[典例4]若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x－13≤x≤2}知a0，又－13×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－ba＝53，所以ba＝－53.又ca＝－23，所以b＝－53a，c＝－23a.所以所求不等式变为－23ax2＋－53ax＋a0，即2ax2＋5ax－3a0，又因为a0，所以2x2＋5x－30.所以所求不等式的解集为x－3x12.归纳升华已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c0)的解集，求解其他不等式的解集(如cx2＋bx＋a0)时，一般先根据解集来判断二次项系数a的符号；再根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；最后约去a，将要解的不等式化为具体的不含参数的一元二次不等式求解．[变式训练]已知不等式x2－2x－30的解集为A，x2＋x－60的解集为B，x2＋ax＋b0的解集为C，若C＝A∩B，求a，b的值．解：x2－2x－30的解集A为{x|－1x3}，x2＋x－60的解集B为{x|－3x2}，因为C＝A∩B⇒集合C为{x|－1x2}，所以－1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．所以a＝－1，b＝－2.1．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：(1)将一元二次不等式化成标准的形式．(2)计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解．(3)画出相应的二次函数的图象．(4)根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．2．设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．3．对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏．一般方法是：(1)当二次项系数不确