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第三讲柯西不等式与排序不等式3．3排序不等式[学习目标]1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题(重点、难点)．1．基本概念设a1a2a3…an，b1b2b3…bn是两组实数，设c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的反序和；S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的顺序和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序和．2．排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，a1bn＋anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两组数1，2，3与4，5，6顺序和是32.()(2)两组数1，2，3与4，5，6的反序和是28.()(3)两组数1，2，3与4，5，6的乱序和一定是29.()(4)使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系．()解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱序和也可能是35或其他等．由排序不等式可知(4)正确．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．有两组数1，2，3与10，15，20，它们的顺序和、反序和分别是()A．100，85B．100，80C．95，80D．95，85解析：由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.答案：B3．有一组序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为()A．A≥B≥CB．A≥C≥BC．A≤B≤CD．A≤C≤B解析：由排序不等式知顺序和≥乱序和≥反序和，故选B.答案：B4．若a，b，c均是正实数，则bca＋cab＋abc________a＋b＋c.(选填“≥”“≤”“＝”)解析：不妨设a≥b≥c0，则bc≤ca≤ab，1a≤1b≤1c.所以bca＋cab＋abc≥acc＋aba＋bcb＝a＋b＋c.答案：≥5．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s，4s，3s，7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．答案：41类型1利用排序不等式证明不等式(自主研析)[典例❶](1)设a，b都是正数，求证：ab2＋ba2≥ab＋ba.(2)已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：①1bc≥1ca≥1ab；②a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.证明：(1)由题意设a≥b＞0，则a2≥b2，1b≥1a，所以a2b≥b2a，根据排序原理，知a2b·1b＋b2a·1a≥a2b·1a＋b2a·1b，即ab2＋ba2≥ab＋ba.(2)①因为a≥b＞0，所以1a≤1b.又c＞0，所以1c＞0，从而1bc≥1ca.因为b≥c＞0，所以1b≤1c.因为a＞0，所以1a＞0，所以1ca≥1ab.从而1bc≥1ca≥1ab.②由①知1bc≥1ca≥1ab，根据顺序和≥乱序和≥反序和，得：a5b3c3＋b5a3c3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.故a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.归纳升华利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)在排序不等式的条件中，需要限定各数值的大小关系，对于它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来，进而用不等关系来解题．[变式训练]设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.解：由题意不妨设a≥b≥c＞0，所以ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a.由排序原理，知ab·1c＋ac·1b＋bc·1a≥ab·1b＋ac·1a＋bc·1c＝a＋c＋b.类型2利用排序不等式求最值[典例2]已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值．解：不妨设x≥y≥z＞0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x2y＋y2z＋z2x≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，x2y＋y2z＋z2x≥1，当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．故t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值为1.归纳升华应用排序不等式求最值时，关键是构造两个有序的数组，从而构造顺序和、乱序和以及反序和，利用顺序和≥乱序和≥反序和可求表达式的最大值或最小值．当已知数组位置对称，没有大小顺序时，可指定一个次序，然后再利用排序不等式求解．[变式训练]设a，b，c为任意正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．解：不妨设a≥b≥c0，则a＋b≥a＋c≥b＋c，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，由排序不等式得，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，上面两式相加，则2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥3，即ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.类型3排序不等式的实际应用[典例3]某座大楼共有n层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v1，v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层楼的楼梯长都一样)?解：设两层楼间的楼梯长为s，则第一层需要走的路程为s，第二层需要走的路程为2s，…，第n层需要走的路程为ns.不妨设v′1v′2…v′n为v1，v2，…，vn从大到小的排列，显然1v′11v′2…1v′n，由排序不等式，可得ns1v1＋(n－1)s1v′2＋…＋s1v′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．归纳升华在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式“顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方法巧妙，步骤灵活，过程简单．[变式训练]某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？解：设t1，t2，t3为25，30，45的任一排列，利用排序不等式的“顺序和最大，反序和最小”，可知维修3台电脑所花的总时间最短为：25×3＋30×2＋45×1＝180(min)，那么最小的经济损失为180×0.05＝9(元)，那么该网吧应该按用时为25min，30min，45min的顺序维修3台电脑，才能使经济损失降到最小．1．对排序不等式的理解．排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单是“顺与反”，而乱序和也就不按“常理”的顺序了．2．排序不等式的本质．两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．3．求证一个与排序有关的不等式．若a，b，c在不等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．