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第三讲柯西不等式与排序不等式3．1二维形式的柯西不等式3．2一般形式的柯西不等式[学习目标]1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义(难点)．2．会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值(重点、难点)．3．理解二维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式(难点)．4．会用二维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题(重点、难点)．1．定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当存在非负实数μ及λ，使得μx1＝λy1，μx2＝λy2时，等号成立．4．一般形式的柯西不等式定理设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则_________________________________________________，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)21．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．()(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d都是实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．()(3)如果a21＋a22＋…＋a2n＝b21＋b22＋…＋b2n＝1，那么－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1.()(4)如果ai∈R(i＝1，2，…，n)，那么a1＋a2＋…＋ann≤a21＋a22＋…＋a2nn.()解析：由定理1易知(1)(2)正确．由一般形式的柯西不等式可知：当ai，bi取特殊值时，可得(3)(4)，故(3)(4)正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值是()A．20B．25C．27D．18解析：y＝2x＋91－2x＝[2x＋(1－2x)]2x＋91－2x＝[(2x)2＋(1－2x)2]2x2＋91－2x2≥2x·2x＋1－2x91－2x2＝(2＋3)2＝25.答案：B3．设a＝(－2，5)，|b|＝6，则a·b的最小值为()A．18B．6C．－18D．12解析：因为|a·b|≤|a||b|，所以|a·b|≤18，所以－18≤a·b≤18，a·b的最小值为－18，故选C.答案：C4.已知abc，若1a－b＋1b－c≥ka－c恒成立，则k的最大值为________．解析：设a＝1a－b，1b－c，b＝(a－b，b－c)，由|a·b|≤|a||b|得2≤1a－b＋1b－c·（a－b）＋（b－c），即1a－b＋1b－c≥4a－c，当且仅当a－b＝b－c即a＋c＝2b时，等号成立．故kmax＝4.答案：45．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________．解析：由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，所以当a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值43.答案：43类型1利用柯西不等式求最值(自主研析)[典例❶](1)若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值．(2)设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．解：(1)因为3x＋4y＝2，所以x2＋y2＝125(x2＋y2)(32＋42)≥125(3x＋4y)2＝425，当且仅当3x＋4y＝24x＝3y时，即x＝625y＝825时“＝”成立．所以x2＋y2的最小值为425.(2)根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2，故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230.当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝376，y＝289，z＝2215时等号成立，此时umax＝230.归纳升华1．先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．3．有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．[变式训练]已知实数a，b，c，d满足a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，求ac＋bd的最大值．解：因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，所以由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，得(ac＋bd)2≤1×2＝2.所以－2≤ac＋bd≤2.当且仅当ad＝bc时取最大值2.所以ac＋bd的最大值为2.类型2利用柯西不等式证明不等式[典例❷](1)(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.(2)已知a，b，c∈R＋，求证：ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9.证明：(1)由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.(2)由柯西不等式知：左边＝ab2＋bc2＋ca2·ba2＋cb2＋ac2≥ab·ba＋bc·cb＋ca·ac2＝(1＋1＋1)2＝9.所以原不等式成立．归纳升华利用柯西不等式证明某些不等式时，要抓住柯西不等式的结构特征，有时需将表达式适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，找到解决问题的突破口．[变式训练]在△ABC中，设其边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)(1sin2A＋1sin2B＋1sin2C)≥36R2.证明：因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以(a2＋b2＋c2)1sin2A＋1sin2B＋1sin2C≥(asinA＋bsinB＋csinC)2＝36R2.类型3柯西不等式的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分10分)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．审题指导：(1)将原不等式去掉绝对值，对比已知的解集可求得a，b的值．(2)运用柯西不等式求最值．[规范解答](1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，(2分)则－b－a＝2，b－a＝4，解得a＝－3，b＝1.(5分)(2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4.(7分)当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，(9分)故(－3t＋12＋t)max＝4.(10分)归纳升华根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决参数的范围、不等式恒成立等综合问题．[类题尝试]把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为x4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S＝x42＋y42＋z42＝116(x2＋y2＋z2)．因为(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥116×48＝3，当且仅当x1＝y1＝z1时取等号．又x＋y＋z＝12，所以x＝y＝z＝4时，Smin＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3m2.1．理解并记忆三种形式取“＝”的条件．(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．2．二维形式的柯西不等式的变式．(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3)a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.3．对柯西不等式一般形式的说明．一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．4．一般形式柯西不等式成立的条件．由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f(x)min＝0⇔xa1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0⇔b1＝b2＝…＝bn＝0，或a1b1＝a2b2＝…＝anbn.