2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单

第二章圆锥曲线与方程2．4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质[学习目标]1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质(重点)．2.通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．抛物线的几何性质图象标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)顶点O(0，0)离心率e＝1焦点到准线的距离p对称轴x轴y轴x的取值范围x≥0x≤0R开口方向右左上下焦点Fp2，0F－p2，0p0，p2F0，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2温馨提示1．抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别较大．它的离心率为1，是一个定值，有一个焦点、一个顶点、一条准线、一条对称轴，没有中心，学习时要注意区分、比较记忆．2．研究抛物线的性质时要记住：看见焦点想准线；看见准线想焦点．2．抛物线的焦半径与焦点弦(1)焦半径：抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫作焦半径．(2)焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交所得到的弦叫作焦点弦．(3)求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－(x1＋x2)|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－(y1＋y2)[思考尝试·夯基]1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：抛物线C：y2＝x的焦点为F14，0，因为A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，所以54x0＝x0＋14，解得x0＝1.答案：A2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1，0)，所以|PF|＝x1＋1＝4⇒x1＝3，所以y1＝23，所以A(－1，23)，所以kAF＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.答案：B3．已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q(1，2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(2，1)B．(－2，1)C－1，14D.1，14解析：根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以点P到点Q(1，2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q(1，2)的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q(1，2)作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1，14.答案：D4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________．答案：y2＝8x或y2＝－8x5．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离是5，则p＝________．解析：因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标是p2，0，由两点间距离公式，得p2＋22＋（－3）2＝5.解得p＝4.答案：4类型1求抛物线的标准方程及其几何性质(自主研析)[典例1]已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM是边长为6的等边三角形，求此抛物线的方程．解：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Pm22p，m，则点M－p2，m，因为焦点Fp2，0，△FPM是等边三角形，所以m22p＋p2＝6，p2＋p22＋m2＝6，解得m2＝27，p＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.归纳升华1．用待定系数法求抛物线方程的步骤．2．求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．3．解决抛物线问题要灵活运用定义，转化“两个距离”，简化解题过程．[变式训练]已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线方程．解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，所以A，B两点的坐标为p2，p，p2，－p，所以AB＝2|p|，因为△OAB的面积为4，所以12×p2·2|p|＝4，所以p＝±22.所以此抛物线方程为y2＝±42x.类型2抛物线的焦点弦问题[典例2]已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离为3＋32＝92.归纳升华抛物线的焦点弦如图，AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切．(2)|AB|＝2x0＋p2(焦点弦长与中点关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋p.(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝2psin2α.如当α＝90°时，AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.(6)1|AF|＋1|BF|为定值2p.[变式训练]过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．(1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长；(2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点，则|AB|等于多少？解：(1)由抛物线的方程得p2＝1，所以根据抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋1＋x2＋1＝7＋2＝9.(2)因为抛物线的焦点是(1，0)，所以直线AB的方程为y＝3(x－1)，与抛物线方程联立消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163.类型3抛物线几何性质的简单应用[典例3]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2解析：因为FP→＝4FQ→，所以|FP→|＝4|FQ→|，所以|PQ||PF|＝34.示意图如图所示，过点Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.所以|QQ′|＝3.根据抛物线的定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.答案：C归纳升华1．利用抛物线的性质可以解决的问题：(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题．2．抛物线几何性质的确定和应用、焦点弦问题是高考常考的内容，高考中多以选择题、填空题的形式对抛物线知识进行考查，解答题中常与椭圆、双曲线、向量等内容进行综合考查．[变式训练]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)解析：法一示意图如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1，可知|BB1||AA1|＝|MB||MA|，即m3m＝|MB||MB|＋4m，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知应选C.法二由|AF|＝3|BF|可知AF→＝3FB→，易知点F(1，0)．设A(xA，yA)，B(x0，y0)，则1－xA＝3（x0－1），－yA＝3y0，从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以y20＝4x0，（－3y0）2＝4（4－3x0），解得x0＝13，y0＝±23，所以k1＝y0－0x0－1＝±3.结合选项可知应选C.答案：C1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程．可以利用几何性质，或待定系数法求抛物线的方程．2．(1)在解决与焦点弦有关的问题时，一是要将焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，解题时注意整体代入的思想，可使运算、化简简便．(2)解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等．