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第二章圆锥曲线与方程2．4抛物线2．4.1抛物线及其标准方程[学习目标]1.抛物线的定义及其标准方程的求法(重点)．2.抛物线定义及方程的应用(难点)．[知识提炼·梳理]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．温馨提示抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p＞0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p＞0)0，－p2y＝p2温馨提示在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．[思考尝试·夯基]1．抛物线y＝－18x2的准线方程是()A．x＝132B．y＝2C．y＝132D．y＝－2解析：化抛物线方程y＝－18x2为标准方程x2＝－8y，因此抛物线y＝－18x2的准线方程为y＝2.答案：B2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D．－8解析：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝1ay，则其准线方程为y＝－14a＝2，所以a＝－18.答案：B3．抛物线y2＝2px(p0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是()A．4B．8C．16D．32解析：因为横坐标为6的点到焦点的距离是10，所以该点到准线的距离为10，抛物线的准线方程为x＝－p2，所以6＋p2＝10，所以p＝8.答案：B4．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为____．解析：方程化为y2＝－74x，抛物线开口向左，2p＝74，p2＝716，故焦点坐标为－716，0.答案：－716，05．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x－5y－36＝0上，则抛物线方程是________．解析：因为焦点在直线3x－5y－36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12，0)或0，－365.设方程为y2＝2px，求得p＝24，所以此抛物线方程为y2＝48x；设方程为x2＝－2py，求得p＝725，所以此抛物线方程为x2＝－1445y；所以顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x－5y－36＝0上的抛物线方程为y2＝48x或x2＝－1445y.答案：y2＝48x或x2＝－1445y类型1求抛物线的标准方程[典例1]分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为52.解：(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，所以p＝4，所以抛物线标准方程为y2＝－8x.(2)因为焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，所以p＝2，所以抛物线标准方程为x2＝4y.(3)由题意得，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，所以m＝92或n＝43.所以所求的抛物线方程为y2＝92x或x2＝43y.(4)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.所以所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.归纳升华1．求抛物线方程，通常用待定系数法．(1)若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．2．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．[变式训练]若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4答案：D类型2抛物线定义的应用(互动探究)[典例2]设P是抛物线y2＝4x上一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.答案：4[迁移探究1](变换条件)若将典例2中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知，点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25.即|PB|＋|PF|的最小值为25.[迁移探究2](变换条件)若将典例2改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程的x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋（－1）2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.归纳升华1．在解题中，应灵活地利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．2．另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等．类型3抛物线的实际应用[典例3]一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．解：如图所示，以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为a2，－a4.设隧道所在的抛物线方程为x2＝my，则a22＝m·－a4，所以m＝－a.即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y－－a4＞3，即a4－0.82a＞3.因为a＞0，所以a＞12.21.所以a应取13.归纳升华1．考查抛物线知识的实际应用时，首先要建系，将题目转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识解答．2．在建立抛物线的标准方程时，应以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[变式训练]如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，解得p＝52，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解．3．关于抛物线的实际应用问题．(1)这类问题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线知识主要体现在：①建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；②利用已求方程求点的坐标．