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第二章圆锥曲线与方程第2课时双曲线方程及性质的应用[学习目标]1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题(重点)．2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．温馨提示直线和双曲线只有一个公共点，直线不一定和双曲线相切，当直线和一条渐近线平行时，直线与双曲线有一个公共点，但是是相交关系，而不是相切．2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.[思考尝试·夯基]1．若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是()A．4B．2C．1D．－2解析：因为在双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a2或a－2，故只有A选项符合题意.答案：A2．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．答案：C3．双曲线x29－y24＝1的被点P(2，1)平分的弦所在的直线方程是()A．8x－9y＝7B．8x＋9y＝25C．4x＋9y＝6D．不存在答案：D4．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，设O是坐标原点，若∠AOB＝120°，则双曲线C的离心率为________．解析：如图所示，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，所以∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，所以cos60°＝OAOF＝ac＝12，所以ca＝2＝e.答案：25．设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．答案：3215类型1直线与双曲线位置关系的判断[典例1]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论下列条件下实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．解：联立方程组x2－y2＝4，y＝k（x－1），消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，直线与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．(1)由4－3k2＞0，1－k2≠0，解得－233＜k＜233，且k≠±1，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．故当－233＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜233时，直线与双曲线有两个公共点．(2)由4－3k2＝0，1－k2≠0，解得k＝±233，且k≠±1，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．故当k＝±1或k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由4－3k2＜0，1－k2≠0，解得k＜－233或k＞233，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线没有公共点．故当k＜－233或k＞233时，直线与双曲线没有公共点．归纳升华1．利用交轨法解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．3．注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．[变式训练]已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由已知得a＝3，c＝2，所以b＝1.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，可得(1－3k2)x2－62kx－9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）0，故k2≠13且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2，由OA→·OB→2得x1x2＋y1y22.又因为y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝－9k21－3k2＋12k21－3k2＋2＝3k21－3k2＋2，所以－91－3k2＋3k21－3k2＋22.所以3k2－91－3k20.又因为k2≠13且k21，所以13k21.所以k的取值范围为k|－1k－33或33k1.类型2与双曲线有关的轨迹问题[典例2]如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝a′2R，sinB＝b′2R，sinC＝c′2R(R为△ABC的外接圆半径)．因为2sinA＋sinC＝2sinB，所以2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝c′2，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22＜|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．因为a＝2，c＝22，所以b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x＞2)．归纳升华1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程．2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．[变式训练]已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都内切；②动圆M与两圆都外切；③动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，如图．在①②两种情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0.在③的情况下，设动圆M的半径为R，则|MC1|＝R＋2，|MC2|＝R－2，所以|MC1|－|MC2|＝228.在④的情况下，|MC2|－|MC1|＝228.在③④两种情况下，得|MC1|－|MC2|＝±22.由双曲线的定义知，点M的轨迹是以(－4，0)，(4，0)为焦点的双曲线，其中a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，故其方程为x22－y214＝1.综上所述，动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1或x＝0.类型3中点弦问题(规范解答)[典例3](本小题满分12分)已知双曲线的方程为x2－y22＝1，是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．审题指导：探索一条直线是否存在，通常要先假设存在，设出直线方程，用待定系数法求解．解题时要注意直线的斜率是否存在，先特殊后一般．本题中B为中点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．[规范解答]法一由题知直线的斜率存在，设被点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分)所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0，解得k＜32，且k≠±2，(6分)x1＋x2＝2k（k－1）k2－2.(8分)因为B(1，1)是弦的中点，所以k（k－1）k2－2＝1，所以k＝2＞32，(11分)故不存在被点B(1，1)所平分的弦．(12分)法二设存在被点B平分的弦MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.(2分)由题意知x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝12(y1＋y2)(y1－y2)．(6分)所以kMN＝y1－y2x1－x2＝2，故直线MN的方程为y－1＝2(x－1)．(9分)由y－1＝2（x－1），x2－y22＝1消去y得2x2－4x＋3＝0，(10分)Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0.(11分)这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．(12分)归纳升华1．在解中点弦的问题时，判断点的位置是非常重要的．(1)如果点在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在；(2)如果点在双曲线的外部，那么以该点为中点的弦就有可能不存在．2．与弦的中点有关的问题，经常用点差法解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．[类题尝试]求过定点(0，1)的直线被双曲线x2－y24＝1截得的弦中点的轨迹方程．解：法一因为该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)，A(x1y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋1，x2－y24＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0.则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)0，所以16k280，即|k|5，k≠±2，且x1＋x2＝2k4－k2，x1x2＝－54－k2，所以x＝12(x1＋x2)＝k4－k2，y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝44－k2.由x＝k4－k2，y＝44－k2消去k，得4x2－y2＋y＝0(y－4或y≥1)．法二设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，则4x21－y21＝4，①4x22－y22＝4.②①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，所以y1＋y2x1＋x2＝4（x1－x2）y1－y2，即yx＝4k＝4xy－1(k为直线AB的斜率)，整理得4x2－y2＋y＝0(y－4或y≥1)．1．解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法．①利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，可求斜率k＝y1－y2x1－x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法．求弦中点轨迹问题，此方法依然有效．②利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．2．与双曲线有关的综合问题的几点认识(1)双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范